Maximum-Likelihood Schätzer

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04.02.2012, 13:00	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum-Likelihood Schätzer Hallo, In einer lostrommel befinden sich N lose mit nummer von 1,...,N. Die Frage: wie groß ist N? Dazu werden n-mal ein los genommen, die nummer notiert und zurückgelegt. Berechne aus den notierten nummern $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ einen Maximum-Likelihood Schätzer für N. nun ist meine erste Überlegung, wie die Likelihoodfunktion aussieht. Da $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ gleichverteilt müsste $\begin{eqnarray} f(X_i,\theta)=\frac{1}{N} \end{eqnarray}$ , wenn die Versuche nun unabhängig sind, dann müsst die Likelihoodfunktion so aussehen: $\begin{eqnarray} L(X_1,...,X_n,\theta)=\frac{1}{N^n} \end{eqnarray}$ richtig soweit?
04.02.2012, 13:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum-Likelihood Schätzer Das ist richtig füt $\begin{eqnarray} N \geq Max(X_1, ..., X_n) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} N < Max(X_1, ..., X_n) \end{eqnarray}$ ist L = 0. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Los mit einer Nummer größer N gezogen wird, ist Null.
04.02.2012, 14:29	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
gut! jetzt will ich ja das Maximum von L bestimmen und müsste normalerweise $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial\theta} \end{eqnarray}$ bestimmen, das wäre dann ja 0. doch wie komme ich dann auf das gesuchte $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ nach der Maximum-likelihood methode?
04.02.2012, 15:44	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier ein Randmaximum. Wo das liegt, sieht man doch sofort, wenn man sich ansieht, wie sich L als Funktion N ändert.
04.02.2012, 19:54	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ja es sollte auf $\begin{eqnarray} \theta=max\{ X_1,...,X_n\} \end{eqnarray}$ hinauslaufen, warum ist mir aber trotzdem unklar
04.02.2012, 20:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte mich eigentlich die Lösung betreffend gar nicht einmischen. Diese Aufgabe ist deswegen so beliebt, weil sie zeigt, daß man bei der Bestimmung des Maximums eben nicht immer damit weiter kommt, die erste Ableitung nullzusetzen usw. [Ich war auch darauf reingefallen und habe mich gefragt, wo zum Teufel da ein Maximum ist... bis ich verstanden habe, daß man ausnutzen muss, daß die Funktion $\begin{eqnarray} \theta\mapsto \frac{1}{\theta^n} \end{eqnarray}$ monoton fallend ist.]
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04.02.2012, 20:16	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \theta\mapsto \frac{1}{\theta^n} \end{eqnarray}$ ist fallend, okay da gehe ich mit. Das Maximum ist dann bei $\begin{eqnarray} \theta=1 \end{eqnarray}$ ?
04.02.2012, 21:41	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege Dir das nochmal. Die Likelihoodfunktion ist, wie Huggy schon sagte: $\begin{eqnarray} L(\theta \| \vec{x})=\begin{cases}<br /> \frac{1}{\theta^n} & \text{falls}~\theta\geq\max\left\{x_1,...,x_n\right\}\\<br /> 0 & \text{falls}~\theta <\max\left\{x_1,...,x_n\right\}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Also in Frage kommt für ein Maximum sowieso doch nur der erste Fall, denn 0 ist hier sicher nicht maximal. Und für welchen $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ - Wert ist denn das maximal?
05.02.2012, 10:37	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ach, na klar! jetzt muss natürlich $\begin{eqnarray} \theta=max\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray}$ für ein Maximum sein. besten Dank!

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