Körperstruktur isomorph?

04.02.2012, 15:13

Cheftheoretiker

Körperstruktur isomorph?

Hallo,

ich frage mich gerade ob man eindimensionale Körper auch auf isomorphie untersuchen kann... verwirrt

Ich befasse mich momentan mit Linearer Algebra und da geht es für gewöhnlich um Abbildungen zwischen Vektorräumen. Da ich mir aber gedacht habe das ein Vektorraum aus einem Tripel mit $\begin{eqnarray*} (\mathbb{K}, +,\cdot ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ Axiome erfüllen muss, müsste es ja so gesehen auch jeder Körper auf lineraität überprüfbar sein, da der Körper $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ Axiome hat.

Wenn ich mir nun die Abbildung

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ anschaue was auch die $\begin{eqnarray*} Id_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, habe ich versucht linearität zu zeigen also,

$\begin{eqnarray*} f(v_1+\lambda v_2)=f(v_1)+\lambda f(v_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v_1,v_2\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(x_1+\lambda x_2)=f(x_1)+\lambda f(x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1+\lambda x_2=x_1+\lambda x_2 \end{eqnarray*}$

Also ist nach meiner Ansicht $\begin{eqnarray*} Hom(\mathbb{R},\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus.

Da bekannt ist das die $\begin{eqnarray*} Id_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, müsste die Abbildung isomorph sein $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\cong\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Habe ich das richtig verstanden oder kann man das nur auf Vektorräume anwenden? verwirrt

Edit: Das ist weder Schulmathematik noch Analysis. Bitte achte in Zukunft darauf, im richtigen Unterforum zu posten. LG Iorek

04.02.2012, 15:26

ollie3

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RE: Körperstruktur isomorph?
hallo hangman,
natürlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wie jeder andere körper isomorph zu sich selbst.
gruss ollie3

04.02.2012, 15:32

Cheftheoretiker

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RE: Körperstruktur isomorph?
Ich meine dadurch das man zeigt das eine Abbildung bijektiv ist, das heißt doch das jedes Element genau einmal angenommen wird ist doch eigentlich schon klar das die beiden Mengen gleich sein müssen, sonst könnte ja nicht jedes Element genau einmal angenommen werden? verwirrt

04.02.2012, 15:33

Mulder

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RE: Körperstruktur isomorph?
Ergänzend:

Zitat:

Original von hangman
ich frage mich gerade ob man eindimensionale Körper auch auf isomorphie untersuchen kann...

Was meinst du mit "eindimensional"?

Man überprüft auch nicht Körper auf Linearität, sondern Abbildungen!

Zitat:

Original von hangman
Also ist nach meiner Ansicht $\begin{eqnarray*} Hom(\mathbb{R},\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus.

Hom(R,R) bezeichnet die Menge ALLER Homomorphismen von R nach R.

Isomorphie untersucht man nicht nur bei Vektorräumen. Das geht auch bei anderen Strukturen. Gruppen, Ringe, Körper, usw.

Und ja, wenn man einen Isomorphismus angibt, ist die Isomorphie sofort nachgewiesen. Dass eine Struktur zu sich selbst isomorph ist, liegt auf der Hand, da kann man ja immer die Identität nehmen.

Edit: Bijektion durch Isomorphismus ersetzt.

04.02.2012, 15:37

Cheftheoretiker

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RE: Körperstruktur isomorph?

Zitat:

Und ja, wenn man eine Bijektion angibt, ist die Isomorphie sofort nachgewiesen. Dass eine Struktur zu sich selbst isomorph ist, liegt auf der Hand, da kann man ja immer die Identität nehmen.

Isomoprhie gilt doch nur bei linearen Abbildungen also muss doch immer erst gezeigt werden das die Abbildung ein Homomorphismus ist. Ist das nicht irgendwie schwachsinnig wenn man erst zeigen muss das die Abbildung ein Homomorphismus ist und dann noch die Bijektivität zeigt? Dadurch das die Abbildung doch bijektiv ist muss sie doch gleich sein? verwirrt

04.02.2012, 15:38

ollie3

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RE: Körperstruktur isomorph?
@hangman,
das es eine bijektive abbildung zwischen den elementen gibt, das allein reicht natürlich nicht,
die rechenstrukturen müssen natürlich auch übereinstimmen.
gruss ollie3

04.02.2012, 15:44

Cheftheoretiker

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RE: Körperstruktur isomorph?
Ah Okay, und das wird über die linearität überprüft? Also ob es ein Homomorphismus ist oder nicht? smile

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