Dimension Kern und Bild |
| 05.02.2012, 16:00 | alidihnio | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Dimension Kern und Bild Hallo Zusammen, ich weiß nicht wie ich auf die Dimension zum Kern und Bild ausrechne. Bei der Dimension zur Basis ist mir das klar. Aber beim Kern und Bild komm ich irgendwie nicht drauf! zum Beispiel eine Aufgabe: Bestimmen Sie den Kern und das Bild der linearen Abbildung, die durch die Matrix 1 2 1 1 3 4 2 4 6 gegeben ist, und ermitteln Sie die Dimension des Kerns und des Bildes. Meine Ideen: Ich hab jetz einfach nach Gaus Verfahren die Lösung gelöst, 1 -2 1 0 -5 5 0 0 0 Dann hab ich da -5x2 + 5x3 = 0 /x3 = t gesetzt und hab anschließend x1 = t x2 = t x3 = t raus. Die Dimension ist wohl 1. Aber warum ? weil ich nur eine variabel Benutz hab? |
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| 05.02.2012, 18:48 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Kern ist, wie du berechnet hast: . Der Kern ist also eine Gerade durch 0. Die hat Dimension 1. Anders: Es gibt eine Formel, die besagt, dass der Kern Dimension Anzahl Spalten - Rang der Matrix hat. Hier 3 - 2 = 1. |
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| 06.02.2012, 13:58 | alidihnio | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und wie berechne ich dann die dimension des bildes aus? |
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| 06.02.2012, 14:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...imensionsformel Wurde bestimmt auch in der Vorlesung besprochen. 
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| 06.02.2012, 14:15 | alidihnio | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist die dimension des bildes 1? Ich hab es einfach in die dimensionformel eingesetzt. Die lautet ja dim V = dim kern + dim bild 2 = 1 + dim bild umgeform und hab dim bild = 1 Stimmt das ? |
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| 06.02.2012, 14:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jetzt kommt die große Frage: was ist V und welche Dimension hat es? |
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| 06.02.2012, 14:22 | alidihnio | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau da bin ich mir bicht sicher. Ich glaub die matrix wird nach dem gausverfahren eliminiert und anschließend bekommt man in der letzen zeile über all eine null. Die dimension ist dann die anzahl der zeilen über der letzen zeile oder? |
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| 06.02.2012, 14:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das hat jetzt mit Gauß-Verfahren usw. nichts zu tun. Es geht einfach um die Frage, welche Abbildung zwischen welchen Vektorräumen die Matrix repräsentiert. |
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| 06.02.2012, 14:30 | alidihnio | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann gib mir mal einen tipp, wie ich auf die dim V kommen könnte. |
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| 06.02.2012, 14:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist etwas erschütternd. Eine Matrix repräsentiert eine Abbildung, die so funktioniert, daß man einen Vektor V nimmt, diesen mit der Matrix multipliziert und dadurch einen Vektor in W erhält. Welche Vektoren kann man nun mit der Matrix multiplizieren? |
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| 06.02.2012, 14:53 | alidihnio | Auf diesen Beitrag antworten » |
Leider komme ich nicht drauf. Der rang von der matrix ist ja gleich dem des bildes also 2 in meinem beispiel. Wenn ich dies in die formel einsetze kommt doch dim v gleich 3 raus. Ich weiß nivhz was da multipliziert werden soll? Oder meinst du den span vektor? |
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| 07.02.2012, 17:00 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was klarsoweit meint: Deine Matrix A stellt eine lineare Abbildung dar. , du multiplizierst Vektoren von rechts an A dran. Nämlich die, die du abbilden möchtest. Aber mal was ganz anderes: Dein Kern stimmt gar nicht. Wenn ich den Vektor (1,1,1) an deine Matrix multipliziere, kommt nicht der Nullvektor heraus. |
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