Funktion f : C-> C mit f(z)=z^3 |
05.02.2012, 17:02 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Funktion f : C-> C mit f(z)=z^3 Die Aufgabe lautet wie folgt: Betrachten Sie die Funktion f : C -> C mit f(z) = z^3 a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von f, d.h. bestimmen Sie Funktionen u; v mit der Eigenschaft f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y): b) Geben Sie die Urbildmenge von w = 8i an, d.h. bestimmen Sie (z element C, z^3 = 8i) Werten Sie dabei trigonometrische Ausdrücke aus. c) Ist f injektiv? Begründung! d) Ist f surjektiv? Begründung! e) Bestimmen Sie Polynome p und q so, dass gilt: f)(z) = p(z) (1 + iz) + q(z); Grad p = 2; Grad q = 0: Meine Ideen: Ich habe angefangen f(x+iy) auszumultipliezieren und kam auf folgenden Ausdruck: ...= x(x^2-2y^2)+iy(2x^2+y^2) Frage 1: ist das Korrekt oder liegt ein Rechenfehler vor? Frage 2: Wie gehe ich nun weiter vor? Oder ist das bereits die Lösung? Also: => s+it , s= u(x,y) , t=iv(xy) Frage 3: Keine Ahnung wie ich bei b) vorgehen soll. Was ist mit trogonometrischen Ausdrücken gemeint? Ist damit gemeint dass x^2 + y^2 einen Kreis abbildet? Aber was hat das mit dem Rest der Aufgabe zu tun? Den Rest würde ich gerne selber noch lösen, sobald mir mit den ersten beiden geholfen wurde. Bin umd jede Hilfe dankbar. |
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05.02.2012, 17:22 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein paar fehlerchen gemacht bezüglich der Angaben: Ich habe angefangen f(x+iy) auszumultipliezieren und kam auf folgenden Ausdruck: ...= x(x^2-2y^2)+iy(2x^2-y^2) Und.... : (x^2-y^2) bildet natürlich einen Kreis ab |
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05.02.2012, 19:05 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... ein paar ist köstlich f(z)= z^3 fange damit nochmal an: wie rechnet man meist schon in der Schule das Binom (x+iy)^3 = ... aus Tipp: zB Pascalsches Dreieck oder so.. nebenbei: und was findest du hat (x^2-y^2) mit einem Kreis zu tun? usw |
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05.02.2012, 20:10 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist x^2-y^2=1 nicht der Standart Kreis? Hab nochmal drüber gerechtnet: Habe jetzt (x(x^2-3y^2)+iy((3x^2-y^2)) raus. Hm. |
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05.02.2012, 20:18 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kreisgleichungen sind viel positiver... aber Hyperbeln sind immerhin ja auch Kegelschnitte und nun? wie weiter? |
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05.02.2012, 21:15 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
An der Stelle komme ich nicht weiter.... Ich schätze mal, dass ich das noch irgendwie in eine andere Form bringen muss, aber ich weiß nicht genau wie. Real und Imaginärteil sind ja nun getrennt. Es muss ja irgendwie gelten: u(x,y) = x(x^2-3y^2) und: iv(x,y)=y(3x^2-y^2) da: f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) gelten soll. Nur fehlt mir da irgendwie die korrekte vorgehensweise. |
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06.02.2012, 14:52 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Keiner der mir weiterhelfen kann? :-/ |
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06.02.2012, 21:44 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
AUFGABE WAR DOCH: "a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von f, d.h. bestimmen Sie Funktionen u; v mit der Eigenschaftf(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y)" und was willst du jetzt noch mehr ? .. bis auf den unpassenden Faktor i (siehe oben) hast du doch diese Aufgabe erledigt? |
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07.02.2012, 10:01 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso ok, danke. Und wie gehe ich bei der b) vor? Moivre? |
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07.02.2012, 16:48 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. dann mach doch mal .. und und ermittle also die drei Lösungen von z^3= 8i durch Übergang zur Polarformdarstellung . |
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07.02.2012, 18:08 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe dabei raus: |z|=8 arg(z)=1/2 * Pi also: z= Drittewurzel(8)*(cos((2k+1)*Pi)/6))+isin((2k+1)*Pi)/6) K=0,1,2 z1= Wurzel(3)+i z2= +2i z3= -Wurzel(3)+i ist das korrekt? |
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08.02.2012, 00:39 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist völlig falsch es ist (für k= 0 , 1 , 2, ...) : überlege jetzt neu: wie sehen z1 z2 z3 nun aus ? ermittle zuerst die Polarform und dann auch noch die Normalformdarstellung : ->... |
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08.02.2012, 08:26 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin nun völlig verwirrt :-( In meinen Aufzeichnungen wurde es irgendwie immer so gemacht: Wobei n dann hier 3 war und k=0,1,2 da 3 Ergebnisse |
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08.02.2012, 11:26 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
<- <- ja - das hast du richtig "aufgezeichnet" .. .. aber oben dann völlig falsch ausgewertet , siehe: z1= Wurzel(3)+i z2= +2i z3= -Wurzel(3)+i das ist sowas von falsch.. deshalb solltest du ja einen neuen Versuch machen.. also dann? ->... |
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08.02.2012, 12:43 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So jetzt schreib ich das mal schritt für Schritt auf damit ich nicht wieder irgendein dummen Fehler mache. Für k=0 Für k=1 Für k=2 |
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08.02.2012, 13:17 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
................. na also .. . |
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08.02.2012, 14:07 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, um die Aufgabe dann abzuschließen: f(x) ist nicht injektiv da für Jede Zahl aus C 3 Lösungen existieren, jedoch surjektiv da es für jede Zahl aus C ein oder mehrere werte existieren. e) Müsste dann sein: f(z)=(zi+1)*(-zi^2+z-i) - i\(zi+1) |
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08.02.2012, 18:24 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. f(z)= z^3 e) Bestimmen Sie Polynome p und q so, dass gilt: f(z) = p(z) (1 + iz) + q(z) ; Grad p = 2; Grad q = 0:
findest du, dass ein Polynom in z vom Grade 0 sei ? |
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