Funktion f : C-> C mit f(z)=z^3

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GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion f : C-> C mit f(z)=z^3
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:


Betrachten Sie die Funktion f : C -> C mit f(z) = z^3

a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von f, d.h. bestimmen Sie Funktionen u; v
mit der Eigenschaft
f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y):
b) Geben Sie die Urbildmenge von w = 8i an, d.h. bestimmen Sie (z element C, z^3 = 8i)
Werten Sie dabei trigonometrische Ausdrücke aus.
c) Ist f injektiv? Begründung!
d) Ist f surjektiv? Begründung!
e) Bestimmen Sie Polynome p und q so, dass gilt:
f)(z) = p(z) (1 + iz) + q(z); Grad p = 2; Grad q = 0:

Meine Ideen:
Ich habe angefangen f(x+iy) auszumultipliezieren und kam auf folgenden Ausdruck:

...= x(x^2-2y^2)+iy(2x^2+y^2)

Frage 1: ist das Korrekt oder liegt ein Rechenfehler vor?

Frage 2: Wie gehe ich nun weiter vor? Oder ist das bereits die Lösung? Also: => s+it , s= u(x,y) , t=iv(xy)


Frage 3: Keine Ahnung wie ich bei b) vorgehen soll. Was ist mit trogonometrischen Ausdrücken gemeint? Ist damit gemeint dass x^2 + y^2 einen Kreis abbildet? Aber was hat das mit dem Rest der Aufgabe zu tun?

Den Rest würde ich gerne selber noch lösen, sobald mir mit den ersten beiden geholfen wurde. Bin umd jede Hilfe dankbar. smile
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar fehlerchen gemacht bezüglich der Angaben:

Ich habe angefangen f(x+iy) auszumultipliezieren und kam auf folgenden Ausdruck:

...= x(x^2-2y^2)+iy(2x^2-y^2)



Und.... : (x^2-y^2) bildet natürlich einen Kreis ab
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GuruOfGreatness

Ein paar fehlerchen gemacht bezüglich der Angaben:

Ich habe angefangen f(x+iy) auszumultipliezieren und kam auf folgenden Ausdruck:

...= x(x^2-2y^2)+iy(2x^2-y^2)
Und.... : (x^2-y^2) bildet natürlich einen Kreis ab

smile
... ein paar ist köstlich

f(z)= z^3

fange damit nochmal an:

wie rechnet man meist schon in der Schule das Binom (x+iy)^3 = ... aus verwirrt

Tipp: zB Pascalsches Dreieck oder so..


nebenbei:
und was findest du hat (x^2-y^2) mit einem Kreis zu tun?

usw
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

Ist x^2-y^2=1 nicht der Standart Kreis?

Hab nochmal drüber gerechtnet:

Habe jetzt (x(x^2-3y^2)+iy((3x^2-y^2)) raus.

Hm.
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GuruOfGreatness

Ist x^2-y^2=1 nicht der Standart Kreis? Gott

Hab nochmal drüber gerechtnet:

Habe jetzt (x(x^2-3y^2)+iy((3x^2-y^2)) raus. Freude

Hm.


Kreisgleichungen sind viel positiver...
aber Hyperbeln sind immerhin ja auch Kegelschnitte smile

und nun? wie weiter?
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

An der Stelle komme ich nicht weiter....

Ich schätze mal, dass ich das noch irgendwie in eine andere Form bringen muss, aber ich weiß nicht genau wie.


Real und Imaginärteil sind ja nun getrennt.

Es muss ja irgendwie gelten: u(x,y) = x(x^2-3y^2)
und: iv(x,y)=y(3x^2-y^2)


da: f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) gelten soll.


Nur fehlt mir da irgendwie die korrekte vorgehensweise.
 
 
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner der mir weiterhelfen kann? :-/
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GuruOfGreatness


Real und Imaginärteil sind ja nun getrennt.

Es muss ja irgendwie gelten:

u(x,y) = x(x^2-3y^2)
und:
iv(x,y)=y(3x^2-y^2) <- hier ist der Faktor i vor dem v(x,y) falsch

da: f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) gelten soll.



AUFGABE WAR DOCH:
"a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von f, d.h. bestimmen Sie Funktionen u; v
mit der Eigenschaftf(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y)"


und was willst du jetzt noch mehr ?
.. bis auf den unpassenden Faktor i (siehe oben) hast du doch diese Aufgabe erledigt?
verwirrt
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok, danke.

Und wie gehe ich bei der b) vor? Moivre?
original Auf diesen Beitrag antworten »

.
dann mach doch mal
..

und und ermittle also die drei Lösungen von z^3= 8i
durch Übergang zur Polarformdarstellung
.
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

Habe dabei raus:

|z|=8
arg(z)=1/2 * Pi

also: z= Drittewurzel(8)*(cos((2k+1)*Pi)/6))+isin((2k+1)*Pi)/6) K=0,1,2

z1= Wurzel(3)+i
z2= +2i
z3= -Wurzel(3)+i

ist das korrekt?
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GuruOfGreatness

also: z= Drittewurzel(8)*(cos((2k+1)*Pi)/6))+isin((2k+1)*Pi)/6) K=0,1,2

z1= Wurzel(3)+i
z2= +2i
z3= -Wurzel(3)+i

ist das korrekt?

unglücklich
Nein, das ist völlig falsch


es ist (für k= 0 , 1 , 2, ...) :



überlege jetzt neu: wie sehen
z1
z2
z3
nun aus ?
ermittle zuerst die Polarform und dann auch noch die Normalformdarstellung : ->...
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun völlig verwirrt :-(

In meinen Aufzeichnungen wurde es irgendwie immer so gemacht:



Wobei n dann hier 3 war und k=0,1,2 da 3 Ergebnisse
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GuruOfGreatness

In meinen Aufzeichnungen wurde es irgendwie immer so gemacht:

Freude

Wobei n dann hier 3 war und k=0,1,2 da 3 Ergebnisse Freude


<- Freude <- ja - das hast du richtig "aufgezeichnet" ..

.. aber oben dann völlig falsch ausgewertet ,
siehe:
z1= Wurzel(3)+i
z2= +2i
z3= -Wurzel(3)+i


das ist sowas von falsch..
deshalb solltest du ja einen neuen Versuch machen..

also dann? ->...
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt schreib ich das mal schritt für Schritt auf damit ich nicht wieder irgendein dummen Fehler mache.


Für k=0



Für k=1



Für k=2

original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GuruOfGreatness

.. ich nicht wieder irgendein dummen Fehler mache...



................. na also .. Freude
.
GuruOfGreatness Auf diesen Beitrag antworten »

So, um die Aufgabe dann abzuschließen:

f(x) ist nicht injektiv da für Jede Zahl aus C 3 Lösungen existieren, jedoch surjektiv da es für jede Zahl aus C ein oder mehrere werte existieren.

e) Müsste dann sein:

f(z)=(zi+1)*(-zi^2+z-i) - i\(zi+1)
original Auf diesen Beitrag antworten »

.
f(z)= z^3

e) Bestimmen Sie Polynome p und q so, dass gilt: f(z) = p(z) (1 + iz) + q(z) ; Grad p = 2; Grad q = 0:


Zitat:
Original von GuruOfGreatness

e) Müsste dann sein:

f(z)=(zi+1)*(-zi^2+z-i) - i / (zi+1)


verwirrt

findest du, dass

ein Polynom in z vom Grade 0 sei ?
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