Zerfällungskörper über Q bzw R

06.02.2012, 10:09	LyriaEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper über Q bzw R Guten Morgen ihr Lieben Ich mache gerade ein paar Übungen zu Zerfällungskörpern und komme andauernt durcheinander. Ich habe schon den einen oder andern hilfreichen Eintrag gefunden, aber ich erlaube mir jetzt dennoch einen eigenen Post zu machen, in der Hoffnung, dass jemand mit mir das durchkauen mag, damit ich nicht nur die Lösung habe, sonder das auch verstehe. Die Aufgabenstellung ist ziemlich simpel, ich nehme hier zwei Beispiele. Geben Sie für folgende Polynome einen Zerfällungskörper an: $\begin{eqnarray} (a) X³ -5 \in \mathbb Q[X],<br /> (b) X³ -5 \in \mathbb R[X] \end{eqnarray}$ Was ich bis jetzt verstanden habe: Ein Zerfällungskörper ist eine minimale Körpererweiterung, damit das entsprechende Polynom in lineare Faktoren zerfällt. (Also gleichviele Nullstellen hat wie der Grad des Polynoms ist) Daher empfielt es sich, zuerst die Nullstellen herauszufinden. Diese sind für das Polynom X³ - 5: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5}e^{(\frac{2 \pi k}{3})i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \in \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ Soweit so gut, oder? Bis hierher spielt es noch keine Rolle, ob das über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ oder über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. Es gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5}e^{(\frac{6\pi}{3})i} = \sqrt[3]{5} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ also brauche ich das in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nicht hinzuzufügen, für $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ aber schon. Ich schau mir deswegen $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ genauer an: Weiter gilt $\begin{eqnarray} (e^{(\frac{2\pi}{3})i})^{2} = e^{(\frac{4\pi}{3})i} \end{eqnarray}$ also reicht es, nur eine der Terme hinzuzufügen. Dann hätte ich als Zerfällungskörper für (b): $\begin{eqnarray} \mathbb R(e^{(\frac{2\pi}{3})i}) \end{eqnarray}$ . (Das schreibt man schon so mit den Klammern?) Für (a) ist es etwas mühsamer, denn $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \notin \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Jetzt bin ich mir etwas unsicher, denn ich glaube es reicht nicht, einfach nur $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ zu nehmen, man muss auch die Potenzen davon betrachten, oder? Ich lass es mal soweit stehen und hoffe fest, dass sich das jemand anschaut und mir ein feedback gibt
06.02.2012, 12:19	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper über Q bzw R hallo lyria, bin die sachen durchgegangen, es ist fast alles richtig, was du geschrieben hast. Also, bei aufgabe a) reicht es tatsächlich nicht, nur um die 3.wurzel aus 5 zu erweitern, man braucht für die beiden komplexen lösungen auch noch e^(2/3pii), dass heisst der zerfällungskörper hier wäre also $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[3]{5}, e^{\frac{2\pi}{3}i}) \end{eqnarray}$ . Bei aufgabe b) ist das alles viel einfacher, weil sich im körper $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ja schon e , 2/3 pi und die 3. wurzel aus 5 befinden, braucht für den zerfällungskörper nur noch i, es ist hier also die lösung $\begin{eqnarray} \mathbb R(i) \end{eqnarray}$ , und das ist ja schon $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . gruss ollie3
06.02.2012, 14:18	LyriaEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie3 Danke für deine Rückmeldung. Wegen der Aufgabe (b), du sagst es braucht nur noch $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , ich glaub dir das auch (ich bin gutgläubig geworden...), ich könnte jetzt aber nicht begründen, warum $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ reicht und es nicht $\begin{eqnarray} e^{i} \end{eqnarray}$ ist. Zur Aufgabe (a), ich dachte es gibt hier noch irgendein Stolperstein ... vielleicht habe ich aber auch eine andere Aufgabenstellung im Kopf, die gar nicht hierzu gehört Wie gesagt, vielen Dank fürs kontrollieren
06.02.2012, 14:24	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Gutgläubig muss man nicht sein, um diese Tatsache einzusehen. $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist in gewissem Sinn ein bsonderer Körper. Wegen des Fundamentalsatzes der Algebra gestattet $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nämlich nur genau eine endliche Erweiterung (ungleich $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ selbst) und das ist $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Da dieser Körper nun algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt über ihm jedes reelle Polynom. D.h. die einzige Frage, die man bei der Suche nach einem Zerfällungskörper über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ stellen muss ist die Frage, ob das Polynom schon komplett über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zerfällt.
06.02.2012, 15:14	LyriaEL	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, danke jester... das leuchtet ein (erklärt wohl auch, warum es so wenige Aufgaben zu Zerfällungskörper in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ hat, und dafür umso mehr in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Eigentlich dachte ich, dass wenn ich diese Aufgaben verstehe, dass der Rest auch geht, aber im nächsten Teil geht es jetzt um endliche Körper und da komme ich keinen Schritt weit. Es geht hier um das Polynom $\begin{eqnarray} x³+x+1\in \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ (nächste Aufgabe ist dann einfach in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ , daher wird die Vorgehensweise wohl ähnlich sein). Mit einsetzten von 0 und 1 (Restklassen) kommt man schnell darauf, dass das Poylnom keine Nullstellen hat, in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ heisst das ja nicht umbedingt, dass es deswegen irreduzibel ist. Aber hier ist, glaube ich, nichts zu machen. Ich habe mir, um sicher zu gehen, auch kurz alle reduziblen Polynome des dritten Grades aufgeschrieben. Bei der Aufgabenstellung (immer noch die gleiche wie oben) ist es ja eigentlich nicht weiter wunderlich, dass das Polynom irreduzibel ist, sonst hätte ich ja nichts mehr zu tun. Die Frage ist aber, was ich nun mache. Ich habe die Wurzeln mal bei Wolfram nachgeschaut und die sehen richtig hässlich aus. Da das eine alte Prüfungsaufgabe ist, müsste man das aber im Kopf machen können. Im Gegensatz zu den obrigen Aufgaben habe ich hier wirklich keine Ahnung, was ich überhaupt machen kann. Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir nocheinmal helfen könntet. Edit: für die Aufgabe $\begin{eqnarray} x³+x+1\in \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ habe ich einen neuen Thread erstellt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »