Kegelaufgabe von Klaudia

16.01.2007, 21:20

tigerbine

Kegelaufgabe von Klaudia

In einem kegelförmigen Behälter mit dem Radius R= 10 cm und der Höhe H= 30 cm werden pro Sekunde 20 cm³ Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers im Behälter hängen also von der Zeit t ab.
a) Ermitteln Sie die Zuordnung $\begin{eqnarray*} h(t) \rightarrow V(t) \end{eqnarray*}$
b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser im Behälter 5 cm hoch steht?

zu a) Bitte Boardsuche nach Kegelaufgaben bemühen, oder deine Formelsammlung oder Wikipedia - wie berechnent man das Volumen eines Kegels?

17.01.2007, 01:26

mYthos

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Von wo ist dieser Beitrag hergekommen? Man kann nicht ersehen, dass dieser von einer Klaudia gepostet wurde, also weiss ich nicht, wem ich hier eigentlich antworte.

Das Volumen des Kegels bzw. die Zurodnung h(t) - > V(t) stellen sicherlich die geringere Schwierigkeit dar.

-----------------------------------------------

b)

Wir treffen folgende Bezeichnungen:

Fließgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} c(t) = 20 \ \rm cm^3 / \rm s \end{eqnarray*}$ . So besteht zwischen Volumen (V) und Zeit (t) die Beziehung

$\begin{eqnarray*} (1) \ \ V = 20t \end{eqnarray*}$

Gesuchte Änderungsgeschwindigkeit der Höhe h in Abhängigkeit von der Zeit t:

$\begin{eqnarray*} (2) \ \ h'(t) = \frac{\dd h}{\dd t} \end{eqnarray*}$

Aus (1) ermitteln wir

$\begin{eqnarray*} \dd V = 20 \ \dd t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1a) \ \ \frac{1}{\dd t} = \frac{20}{\dd V} \end{eqnarray*}$

und setzen in (2)

$\begin{eqnarray*} (2a) \ \ h'(t) = 20 \cdot \frac{\dd h}{\dd V} \end{eqnarray*}$

Wir haben also die zeitliche Abhängigkeit der Füllhöhe h auf die Änderung der Füllhöhe mit dem Volumen zurückgeführt!

Weitere Vorgangsweise: Aus der Volumsformel des Kegels erstellen wir die Funktion h = h (V), wir drücken also die Höhe h in dem Volumen V aus. Wenn wir diese Funktion ableiten, erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac{\dd h}{\dd V} \end{eqnarray*}$ , die wir in die Gleichung (2a) einsetzen. Wir benötigen nun von dieser Funktion den Wert bei h = 5. Dazu berechnen wir letztendlich das Volumen für diese Höhe (das dazugehörige r kann leicht mittels Ähnlichkeit/Proportion berechnet werden) und setzen dieses als Argumentwert in die Gleichung (2a) ein. Das Ergebnis ist der gesuchte Zahlenwert in $\begin{eqnarray*} \rm cm / \rm s \end{eqnarray*}$ .

mY+

[ $\begin{eqnarray*} \frac {36}{5 \pi} \approx 2.3 \ \rm cm / \rm s \end{eqnarray*}$ ]

EDIT (mY+): Mein Fehler war der fehlende Faktor $\begin{eqnarray*} \color{red} \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ ! Ergebnis berichtigt! Danke an alle für die Korrektur!

21.12.2011, 23:12

Daniel3

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Bis einschließlich Gleichung (2) verstehe ich, aber könntest du vielleicht die Zeilen danach nochmal erläutern?

Gruß
Daniel

22.12.2011, 00:24

mYthos

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Danach wurde die Gleichung (1) differenziert und (in Differntialschreibweise) nach 1/dt umgestellt (1a). Der Ausdruck 1/dt wurde nun in (2) entsprechend ersetzt, sodass dort anstatt der zeitlichen Abhängigkeit der Höhe nunmehr eine Abhängigkeit der Höhe vom Volumen erscheint (2a).

mY+

22.12.2011, 00:41

Dopap

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wg. lesbarkeit mal mathematisch :

wir kippen das Kegel um 90° nach rechts, die Höhe nun auf x-Achse von 0 bis 30,
die Randlinie y(x)= 10-x/3

Rotation um x-Achse:

$\begin{eqnarray*} \rm V(h)=\pi \int_0^h (10-\frac 13 x)^2 dx = \pi \frac {h^3-90h^2+27000}{27} \end{eqnarray*}$

mit V(t)=20t folgt

$\begin{eqnarray*} \rm t(h)= \pi \frac {h^3-90h^2+27000}{540} \end{eqnarray*}$

leider nicht h(t) (?), oder geht das? ( verdächtig viele 3^3 enthalten)

Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} \rm \frac {d }{dt} h(t) \end{eqnarray*}$ an der "Stelle" h=5

22.12.2011, 12:33

Daniel3

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Und wie erhalte ich aus der Volumenformel des Kegels h = h (V)?

22.12.2011, 18:21

Leopold

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$\begin{eqnarray*} r(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(t) \end{eqnarray*}$ , gemessen in cm, seien Radius und Höhe des mit Flüssigkeit gefüllten Teilkegels zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (in Sekunden). Das Verhältnis dieser Größen ist immer ein Drittel (wegen $\begin{eqnarray*} R=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H=30 \end{eqnarray*}$ , Strahlensatzfigur):

$\begin{eqnarray*} r(t) = \frac{1}{3} h(t) \end{eqnarray*}$

Das Volumen (in cm³) ist

$\begin{eqnarray*} V(t) = 20 t = \frac{1}{3} \pi \left( r(t) \right)^2 \cdot h(t) = \frac{1}{27} \pi \left( h(t) \right)^3 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ 20 t = \frac{1}{27} \pi \left( h(t) \right)^3 \end{eqnarray*}$

differenziert man jetzt nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (rechts die Kettenregel beachten) und setzt $\begin{eqnarray*} h(t_0) = 5 \end{eqnarray*}$ ein. Daraus läßt sich dann $\begin{eqnarray*} h'(t_0) \end{eqnarray*}$ berechnen. Der Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ , zu dem der Flüssigkeitsspiegel 5 cm hoch steht, wird nicht explizit benötigt. Wenn man ihn aber berechnen will, geht das mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ . Im übrigen kann man natürlich diese Gleichung auch nach $\begin{eqnarray*} h(t) \end{eqnarray*}$ auflösen und alles über die explizite Funktionsvorschrift abhandeln.

@ mYthos

Bist du sicher, daß dein Ergebnis stimmt? Ich habe nur 1 Drittel deines Wertes.

22.12.2011, 18:52

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} V(t) = 20 t = \frac{1}{3} \pi \left( r(t) \right)^2 \cdot h(t) = \frac{1}{27} \pi \left( h(t) \right)^3 \end{eqnarray*}$

Bei deiner Lösung steht der Kegel mit Spitze nach unten. Guter Ansatz. Was ist, wenn aber "normale" Lage vorliegt?

22.12.2011, 18:54

Leopold

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Auf den Gedanken wäre ich gar nicht gekommen. Mir hat sich gleich das Bild eines Trichters aufgedrängt ...

EDIT

Der Fall, wenn der Kegel auf seiner Grundfläche steht, läßt sich ebenso rechnen. Um nicht durcheinanderzukommen, sei jetzt $\begin{eqnarray*} k(t) \end{eqnarray*}$ die Höhe des mit Flüssigkeit gefüllten Teils. Man erhält die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 20 t = 1000 \pi - \frac{1}{27} \pi \left( 30 - k(t) \right)^3 \end{eqnarray*}$

und kann ansonsten genau so vorgehen, wie ich es vorhin beschrieben habe.

22.12.2011, 19:55

Dopap

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ich fülle meine Weine nicht mit einem Trichter um,
ich dekantiere sie langsam (20ml/s) in eine kegelförmige Karaffe Big Laugh

Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} \rm t(h)= \pi \frac {h^3-90h^2+27000}{540} \end{eqnarray*}$

nun ist doch $\begin{eqnarray*} \rm\frac {dh}{dt} |h=5 \end{eqnarray*}$ gesucht.

Das ist doch $\begin{eqnarray*} \rm \frac {1}{\frac {dt}{dh}}| h=5 \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} \rm \frac {1}{\frac {\pi(h^2-60h+900)}{180}}|h=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm \frac {dh}{ dt}= \frac {36}{125\pi}\approx 0.092 cm/s \end{eqnarray*}$

1mm/s ist bei einen Schnapsvolumen/s ziemlich plausibel.

23.12.2011, 11:03

Leopold

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Meine und deine Formel stimmen nicht überein. Sie täten es allerdings, wenn es bei dir hieße:

$\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{540} \cdot \left( k^3 - 90k^2 + 2700k \right) \end{eqnarray*}$

Ich habe wieder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ geschrieben, weil ich mit meinen alten Bezeichnungen, wo $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Höhe im Trichter-Kegel war, konsistent bleiben will. Zu dieser Formel würde auch dein Ergebnis für die gesuchte Höhenänderungsrate passen.

Letzten Endes unterscheiden sich unsere Lösungswege nur in Nuancen. Ich hätte es so gemacht: Aus

$\begin{eqnarray*} 20 t = 1000 \pi - \frac{1}{27} \pi \left( 30 - k(t) \right)^3 \end{eqnarray*}$

entsteht durch Differenzieren nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 20 = \frac{1}{9} \pi \left( 30 - k(t) \right)^2 \cdot k'(t) \end{eqnarray*}$

Ist nun $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ die Stelle mit $\begin{eqnarray*} k(t_0) = 5 \end{eqnarray*}$ , so folgt hieraus:

$\begin{eqnarray*} 20 = \frac{1}{9} \pi \cdot 25^2 \cdot k'(t_0) \end{eqnarray*}$

Daraus erhalte ich wie bei dir

$\begin{eqnarray*} k'(t_0) = \frac{36}{125 \pi} \end{eqnarray*}$

Übrigens ergibt sich nach derselben Methode beim Trichter-Kegel, wenn man nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ differenziert (siehe meinen ersten Beitrag):

$\begin{eqnarray*} 20 = \frac{1}{9} \pi \left( h(t) \right)^2 \cdot h'(t) \end{eqnarray*}$

Ist hier $\begin{eqnarray*} t^{*} \end{eqnarray*}$ die Stelle mit $\begin{eqnarray*} h(t^{*}) = 5 \end{eqnarray*}$ , so folgt:

$\begin{eqnarray*} 20 = \frac{1}{9} \pi \cdot 25 \cdot h'(t^{*}) \ \ \Rightarrow \ \ h'(t^{*}) = \frac{36}{5 \pi} \end{eqnarray*}$

23.12.2011, 13:21

mYthos

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Was ein kleiner Fehler doch alles ausmachen kann!
Weil bei meiner Rechnung die 1/3 beim Differenzieren vergessen wurden, kam ein dreimal so großer Wert heraus.

Der richtige Wert ist daher

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd h}{\dd t} = \color{blue} \frac {36}{5 \pi} \approx 2.3 \ \rm cm / \rm s \end{eqnarray*}$

Danke für die Aufmerksamkeit!

mY+

23.12.2011, 17:16

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} k'(t_0) = \frac{36}{125 \pi} \end{eqnarray*}$

ist auch mein Ergebnis beim Normalkegel.

In Physik würde man die Kontinuitätsgleichung für Strömung im Rohr mit variablem Querschnitt nehmen:

$\begin{eqnarray*} Qv=\dot V \end{eqnarray*}$ jetzt braucht man nur noch Q ; z.B. beim Kegel in 5 cm Höhe= $\begin{eqnarray*} \frac {625 \pi}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {625 \pi}{9}v=20 \end{eqnarray*}$ und fertig.

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