Aufstellen einer Matrix

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06.02.2012, 15:08	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufstellen einer Matrix Meine Frage: Stellen sie die Matrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ auf, die $\begin{eqnarray} f(1,0,0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},<br /> f(1,1,0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},<br /> f(1,1,1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erfüllt. Auf welche Vektoren werden die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} e_{1} , e_{2} , e_{3} \end{eqnarray}$ unter f abgebildet? Meine Ideen: Ich habe mir überlegt, dass die Matrix folgende Gleichung erfüllen muss : Ax = b = f(x) mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Außerdem müsste Die Matrix die Form $\begin{eqnarray} 3 \times 3 \end{eqnarray}$ haben. leider weiß ich nicht ob diese Überlegung stimmt und wie ich fortfahren soll. Freue mich über jede Hilfe mfg
06.02.2012, 16:36	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufstellen einer Matrix 3x3 Matrix ist richtig, nun kennt man den Vektor x, kann also drei LGS mit jeweils drei Unbekannten simultan lösen.
06.02.2012, 16:48	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufstellen einer Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das wäre dann doch eine Lösung denn $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder soll das anders gehen ... ? mfg
06.02.2012, 16:53	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufstellen einer Matrix Die von dir angegeben Matrix bildet aber den Vektor (1,1,0) nicht auf (1,1,1) ab, es ist $\begin{eqnarray} A \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also wohl doch keine Lösung.... betrachte doch einfach mal eine Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun stelle drei LGS auf mit insgesamt 9 Unbekannten, diese drei LGS kann man simultan lösen.
06.02.2012, 16:59	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_1 + a_2 + a_3 = 1\\ b_1 + b_2 + b_3 = 1 \\ c_1 + c_2 + c_3 = 0 \end{vmatrix} <br /> <br /> \begin{vmatrix} a_1 + a_2 + a_3 = 1 \\ b_1 + b_2 + b_3 = 1\\ c_1 + c_2 + c_3 = 1 \end{vmatrix} <br /> <br /> \begin{vmatrix} a_1 + a_2 + a_3 = 1\\ b_1 + b_2 + b_3 = 0 \\ c_1 + c_2 + c_3 = 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Diese 3 meinst du doch oder ? nicht dass ich jetzt was komplett falsch mache^^
06.02.2012, 17:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf? Die drei Bedingungen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Liefern dir drei LGS, die es zu lösen gilt, also einfach Matrixmultiplikation.....
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06.02.2012, 17:09	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry wolte gerade editieren ... Also ich habe ausgerechnet dass $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so müsste es doch stimmen ...
06.02.2012, 17:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, stimmt....
06.02.2012, 17:16	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok super danke schonmal und um das mit den Einheitsvektoren zu machen muss ich doch einfach die Matrix, die soeben bestimmt wurde mit den Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ multiplizieren oder? sprich mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Ergebnisse wären dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
06.02.2012, 17:19	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist richtig, die errechnete Matrix mit den Einheitsvektoren multiplizieren (Multiplikation mit dem n-ten Einheitsvektor ergibt gerade die n-te Spalte der Matrix), der letzte Vektor stimmt also nicht, es ist $\begin{eqnarray} A \cdot e_3 \neq \begin{pmatrix}0\\0\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
06.02.2012, 17:23	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau super vielen Dank für deine Zeit habe soweit alles gut verstanden

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