Primideale immer Hauptideale? |
| 07.02.2012, 11:03 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Primideale immer Hauptideale? |
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| 07.02.2012, 11:08 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. klassisches Gegenbsp. ist max. Ideal. |
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| 07.02.2012, 11:30 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. Und da maximale Ideal auch immer Primideale sind, ist die andere Frage gleich mit beantwortet, richtig? |
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| 07.02.2012, 11:42 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Maximale Ideale sind nicht immer Primideale. Allerdings stimmt das in Hauptidealringen, da ist tatsächlich ein Ideal ein Primideal, wenn es maximal ist. |
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| 07.02.2012, 11:43 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte, es sei immer so, denn ein Ideal ist genau dann maximal, wenn beim Rausteilen ein Körper entsteht. Weiter ist ein Ideal genau dann prim, wenn beim Rausteilen ein IR ensteht, da aber jeder IR ein Körper ist, folgt aus Maximalität doch schon, dass sie prim sind. |
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| 07.02.2012, 11:51 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soll IR ein beliebiger Ring sein? 
...oder die reellen Zahlen? Jedes maximale Ideal in einem Ring mit 1 ist prim und in einem Hauptidealring sind die maximalen Ideale genau die Primideale. |
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| 07.02.2012, 12:11 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit IR meinte ich einen Integritätsring. |
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| 07.02.2012, 12:19 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wieso sollte jeder Integritätsring ein Körper sein?
Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper. 
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| 07.02.2012, 12:27 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Umgekehrt. Jeder Körper ist ein IR. |
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| 07.02.2012, 12:34 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, das hast du oben anders geschrieben, so herum stimmt es. Wir betrachten also einen Ring R mit 1 und ein Ideal I, I ist genau dann maximal, wenn R/I ein Körper ist, und I ist genau dann prim, wenn R/I ein Intergritätsring ist. Nun ist jedes maximale Ideal ein Primideal, woraus man folgern kann, dass jeder Körper ein Integritätsring ist, aber nicht umgekehrt, denn dazu müsste auch jedes Primideal ein maximales Ideal sein, aber das gilt nur in Hauptidealringen. |
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| 07.02.2012, 13:19 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo denn?
Andersrum. Ich weiß bereits, dass jeder Körper ein IR ist, also kann ich folgern (wie auch oben): Jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal. |
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| 07.02.2012, 13:22 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier (der 5. Beitrag in diesem Thread, dein 3. Post):
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| 07.02.2012, 13:29 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh stimmt, da habe ich es falschrum aufgeschrieben, aber die richige Behauptung gefolgert. |
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| 07.02.2012, 19:37 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist sicher jedes maximale Ideal in einem kommutativen Ring auch prim. |
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