Injektivität / Surjektivität / Identität linearer Abbildungen

08.02.2012, 17:03	misantrophe	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität / Surjektivität / Identität linearer Abbildungen Meine Frage: Hallo ich möchte 2 Aussagen beweisen und wäre euch sehr dankbar, falls ihr sagen könntet, ob es falhsc oder richtig ist 1.) Seien V,W endlichdimensionale $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorräume. Zeigen Sie: wenn f: V -> W eine injektive lineare Abbildung ist, dann exisitert eie surjektive lineare Abbildung g: W -> V mit g o f = id_V Es ist eine derartige Abblildung g zu konstruieren und deren Surjektivität zu zeigen. 2.)ist fast so ähnlich nur soll ich hier injektiviät zeigen: Seien V,W endlichdimensionale $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorräume. Zeigen Sie: wenn f: V -> W eine surjektive lineare Abbildung ist, dann exisitert eie injektive lineare Abbildung g: W -> V mit f o g = id_W ZuZeigen ist die Existenz von g und deren Injektivität Meine Ideen: So 1.) Also ganz genau weiß ich nicht, was mit konstruieren gemeint ist, aber ich versuchs mal. Wenn f demnach injektiv ist und ein linksinverses g besitzt, dann gilt ja g o f = id_V, deswegn ist x,y in V mit f(x) = f(y) x=y Wenn wir nun g als surjektiv voraussetzen und jedes Element y in V hat (mit g W-V)also ein Urbild mit f:V -> W. Nun Sei v inV gegben und ich muss ein w inW mit f(w)=V angeben. Das ergibt aus : w:= g(v), denn dieses leistet g(w)=g(f(v))=id_v=v 2.) wenn g nun injektiv sein soll, besitzt es ein Linksinverses. ich setze injektiviätt voraus und f: V->W sei definiert durch f(y):= x falls y in der Bildmenge von g liegt unf g(x)=y ist f(y):= v falls g nicht in der Bildmenge von g leigt Aber das könnte man ja eigtl bis hierhn bei 2. auch weglassen oder? denn wichtig ist ja: sei x,y, in W mit g(x)=(g(y) ist zu zeigen, dass x=y gilt. durch f o g = id_w gilt f(g(x))=g(f(y)) dadurch ergibt sich id_W(x)=id_W(y) und damit x=y Gut ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen was dazu sagen, ich glaube ich hab da auch grad ein bisschen was durcheinander gebracht :/ LG
09.02.2012, 18:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion einer Abbildung $\begin{eqnarray} g:W\to V \end{eqnarray}$ erfordert, dass du zu jedem $\begin{eqnarray} w\in W \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} g(w) \in V \end{eqnarray}$ angibst. Die gewünschten Eigenschaften von g, also linear, surjektiv bzw. injektiv musst du dann beweisen. Als Voraussetzung steht dir eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V \to W \end{eqnarray}$ zu Verfügung, die injektiv bzw. surjektiv ist, und die reellen Vektorräume sind endlichdimensional. Tipp: Ich würde damit anfangen, dass jede lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt ist. Nimm eine Basis $\begin{eqnarray} {e_1,...,e_n} \end{eqnarray}$ von V und die Bilder $\begin{eqnarray} f(e_1),...f(e_n) \end{eqnarray}$ , und mach was daraus. (Hier steckt schon die Voraussetzung drin, dass V endlichdimensional ist.)
09.02.2012, 20:18	misantrophe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Elvis, ok also wenn g nun linear sein soll, muss es ja folgende eigenschaften erfüllen: $\begin{eqnarray} g:W->V; \forall x,y \in W und \lambda \in \mathbb R gilt:<br /> f(\lambda x)=\lambda f(x)<br /> f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ und das ist ja durch die identität gegeben, da von w->w abgebildet wird oder? Hm meinst du damit, ich könnte es übern dimensionssatz lösen? denn für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V->W gilt:dim(V)=dimKern(f)+dimIm(f) \end{eqnarray}$ und da der kern bei injektiven Abblidungen ist ja {0} und somit gilt: $\begin{eqnarray} dim(V)=dim Im(f) \end{eqnarray}$ aber kann ich aus der Identität auch schließen, dass die dimV=dimW ist? dann wäre f jedenfalls surjektiv. aber eigtl geht es mir ja ums die Abbildung g. hm bin grad ein bisschen durcheinander :/
10.02.2012, 11:19	misantrophe	Auf diesen Beitrag antworten »
also eigtl wollte ich es anders zeigen, nämlich dass f bijektiv und ein Isomorphismus ist und dadruch eine Umkehrabblidung g hat, die ebenfalls isomorph ist. Aber das geht so glaube nicht. ich versuch es mal so: Die Funktion f ist genau dann injektiv, wenn die Zielvektoren $\begin{eqnarray} <w_1,...,w_n> w\in W \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Die Funktion g mit g:W->V ist genau dann surjektiv, wenn g $\begin{eqnarray} <v_1,...,v_n> v\in V \end{eqnarray}$ den Zielraum V aufspannt und dazu muss $\begin{eqnarray} <v_1,...,v_n> v\in V \end{eqnarray}$ linear unabhängig sein, denn dann habe ich eine Basis und damit ein Erzeugendensystem. Das ist echt wichtig und wär echt dankbar, wenn ihr dazu nochmal was sagen könntet.
10.02.2012, 16:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow n=dim V=<e_1,...,e_n>=dim(Im f)=<f(e_1),...f(e_n)> \end{eqnarray}$ ist schon mal richtig gut. Damit hast du doch mit $\begin{eqnarray} \{f(e_1),...,f(e_n)\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} Im f \end{eqnarray}$ , die du zu einer Basis von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ erweitern kannst, also $\begin{eqnarray} W=<f(e_1),...,f(e_n),w_{n+1},...,w_m> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m\ge n \end{eqnarray}$ . Da drängt sich doch zwangsläufig die folgende Definition auf: $\begin{eqnarray} g(f(e_i)):=e_i, g(w_j):= \end{eqnarray*}$
12.02.2012, 15:23	misantrophe	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo Elvis entschuldige, dass ich so lange nicht geantwortet habe. für 1.) ok wenn ich g nun definiert habe, dann reicht es doch eigtl aus, zu zeigen, dass (g o f)(V)=V und damit Im(g)=V ist oder. Wenn also der Bildbereich von g ganz V ist, gilt doch $\begin{eqnarray} Im(f)\subseteq W \end{eqnarray}$ und g ist damit surjektiv. zu 2.) wenn ich zeigen will dass g injektiv ist. würde ich es so machen: angenommen g wäre nich injektiv, dann existiert $\begin{eqnarray} w,z \in W \end{eqnarray}$ mit f(v)=f(z), aber $\begin{eqnarray} v\neq z \end{eqnarray}$ . da f aber eine abbildung ist gilt v=f(g(v))=f(g(z))=z und wegen $\begin{eqnarray} g(v)\neq g(z) \end{eqnarray}$ wäre das ein Widerspruch und g müsste injektiv sein. aber das ist eher allgemein oder? und bei bei Vektorräumen sicher noch ein bisschen anders oder? auch wenn g injektiv sein soll, tue ich mich mit dem konstruieren noch ein bisschen schwer. aber damit hast du mir schonmal sehr geholfen.
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