ln(sin,cos) minimieren

08.02.2012, 18:37

nzuri

ln(sin,cos) minimieren

Hi,

ich habe in Einer Mechanik-Aufgabe das Problem, dass x in der Funktion

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{m}{2A}\cdot ln| 1+\frac {A\cdot (S \cdot sin(\alpha )-mg)} {S\cdot B\cdot cos(\alpha )}| \end{eqnarray*}$

in Abhängikeit von alpha minimiert werden soll (A, B, S, m, g alle const.).

Mein Ansatz ist also, dass ich den Logarythmus-Term versuche möglichst dicht an Null heranzubringen.

Leider komme ich nicht weit und erst recht nicht in die nähe der Musterlösung: $\begin{eqnarray*} \alpha = arcsin(\frac{S}{mg} ) \end{eqnarray*}$

Ich wäre für Hilfe wirklich dankbar!

mfg Nzuri

08.02.2012, 19:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von nzuri
A, B, S, m, g alle const.

und positiv, wie ich annehme?

Zitat:

Original von nzuri
Mein Ansatz ist also, dass ich den Logarythmus-Term versuche möglichst dicht an Null heranzubringen.

Inwieweit soll das eine Minimierung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bringen? Angesichts der Monotonie der Logarithmusfunktion sowie des negativen Vorfaktors $\begin{eqnarray*} -\frac{m}{2A} \end{eqnarray*}$ ist wohl eher
$\begin{eqnarray*} \left| 1+\frac {A\cdot (S \cdot \sin(\alpha )-mg)} {S\cdot B\cdot \cos(\alpha )} \right| \end{eqnarray*}$ zu maximieren.

Der Musterlösung nach zu urteilen hast du außerdem die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} S\leq mg \end{eqnarray*}$ zu fordern, sonst kann nämlich die Lösung von vornherein nicht stimmen. unglücklich

08.02.2012, 19:40

nzuri

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ok, etwas falsch ausgedrückt. tut mir leid.

:
da x eine länge ist, will ich die funktion möglichst dicht an 0 bringen, da mir eine negative länge nicht viel bringt.

die konstanten sind positiv.

die bedingung s >= m.g ist gegeben, ich wusste nur nicht wofür die gut sein soll / hatte vergessen sie zu beachten.

08.02.2012, 20:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von nzuri
da x eine länge ist, will ich die funktion möglichst dicht an 0 bringen, da mir eine negative länge nicht viel bringt.

Alles irgendwie halb richtig, aber doch wohl nicht so richtig zielführend? verwirrt

Dank Voraussetzung $\begin{eqnarray*} S\leq mg \end{eqnarray*}$ ist der Term $\begin{eqnarray*} \frac{A\cdot (S \cdot \sin(\alpha )-mg)} {S\cdot B\cdot \cos(\alpha )} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in \left[0,\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ negativ. Ich nehme weiterhin an, die diversen Konstanten sind so gestaltet, dass zumindest stets $\begin{eqnarray*} \frac{A\cdot (S \cdot \sin(\alpha )-mg)} {S\cdot B\cdot \cos(\alpha )} > -1 \end{eqnarray*}$ gilt (leider legst du ja nicht alle Karten auf den Tisch, wie du eben mit dem verschwiegenen $\begin{eqnarray*} S\leq mg \end{eqnarray*}$ schon "bewiesen" hast unglücklich

). Demnach wird hier also der Logarithmus einer Zahl aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ betrachtet, der ja negativ ist, was multipliziert mit $\begin{eqnarray*} -\frac{m}{2A} \end{eqnarray*}$ ja dann ein positives $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt.

Lange Rede, kurzer Sinn: Eine Minimierung dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \alpha\in \left[0,\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ist dann gleichbedeutend mit einer Maximierung der (negativen) Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{S \cdot \sin(\alpha )-mg} {\cos(\alpha )} \end{eqnarray*}$ .

08.02.2012, 23:16

nzuri

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ich verstehe nicht ganz.

Ich wäre der Meinung man müsste den zweiten Summanden im Logarithmus eher zu Null kriegen, da ja ln(1) = Null ist, und damit eine möglichst kleine Länge erreicht wird.
Wo liegt da der Gedankenfehler?

Desweiteren liegen über die Konstaten keine Informationen vor, außer A, B, S > 0, es kann also durchaus sein, dass bei alpha =~ 0 ein Wert <= 0 im Argument des Logarithmus steht.

Hmm. sehr merkwürdig alles.

09.02.2012, 10:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von nzuri
Ich wäre der Meinung man müsste den zweiten Summanden im Logarithmus eher zu Null kriegen, da ja ln(1) = Null ist, und damit eine möglichst kleine Länge erreicht wird.
Wo liegt da der Gedankenfehler?

Der zweite Summand kann unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} S\leq mg \end{eqnarray*}$ gar nicht Null werden!!! Forum Kloppe

Denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} S\sin(\alpha)-mg \leq S-mg\leq 0 \end{eqnarray*}$ ,

und Gleichheit in beiden Fällen bedeutet sowohl $\begin{eqnarray*} S=mg \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=1 \end{eqnarray*}$ , letzteres bedeutet aber $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ , womit der Quotient gar nicht definiert ist. Ich hatte oben lang und breit erklärt, dass dieser zweite Summand negativ ist, aber du hörst ja nicht zu und verbreitest stattdessen denselben alten Mist.

Deswegen beende ich auch meine Bemühungen hier, ist ja nicht zum Aushalten. Finger2

09.02.2012, 10:38

nzuri

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danke. dafür, dass du mir erklärst was ich nicht verstehe....
wozu ich ausdrücklich gesagt habe, dass ich es nicht verstehe.
aber gut. wenn ich zu dumm bin, kann man halt nichts machen.

ich habe übrigens geschrieben möglichst dicht an null. aber hey. ein bisschen akzeptanz gegenüber dümmeren würde dir nicht schaden.

09.02.2012, 10:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von nzuri
aber hey. ein bisschen akzeptanz gegenüber dümmeren würde dir nicht schaden.

Die Akzeptanz endet, wenn gleich mehrere Beiträge hintereinander de facto ignoriert werden.

09.02.2012, 11:15

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von nzuri
ich habe übrigens geschrieben möglichst dicht an null.

Dann setz $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ doch einfach Null und rechne $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aus.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2012, 11:59

nzuri

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danke,
wenn ich das mache, komme ich immer auf alpha = arcsin (m*g / S) ist aber irgendwie falschrum.
hatte ich auch schon probiert :~(

ok. vielleicht bin ich hier einfach falsch. weil es doch mehr mit mechanik zu tun hat als mit mathe und ich nicht die gesamte aufgabenstellung inkl. aller zwischenergebnisse posten möchte.

x=0 wäre physikalisch auch nicht möglich.

danke trotzdem für die bemühungen (teilweise mehr teilweise weniger)

09.02.2012, 13:13

René Gruber

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Sehr sinnvoll, dieses $\begin{eqnarray*} \arcsin\left( \frac{mg}{S} \right) \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} S<mg \end{eqnarray*}$ ...

Es steht bereits seit Ewigkeiten da, was jetzt anliegt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Minimierung dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \alpha\in \left[0,\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ist dann gleichbedeutend mit einer Maximierung der (negativen) Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{S \cdot \sin(\alpha )-mg} {\cos(\alpha )} \end{eqnarray*}$ .

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