Tetraeder Abstand Punkte

17.01.2007, 11:46

ldub13

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Tetraeder Abstand Punkte

Hallo!
Ich muss da so eine Aufgabe bis Freitag lösen und könntet ihr mir bitte einen Denkanstoß geben, weil cih weiß nicht wie ich an dei aufgabe rangehen soll....

Gegeben ist ein Tetraeder ABCD mit A(3/1/2) B(5/3/4) C(-2/1/-1) D(1/-3/1)

a) Bestimme den Abstand eines jeden Punktes von der Ebene, dei durch die übrigen Punkte bestimmt wird.
b) Bestimme den Flächeninhalt für jedes der Dreiecke des Tetraeders

das mit dem Flächeninhaltder Dreicke muss ich doch mit den Längen der Vektoren machen oder ?!

danke im vorraus !

17.01.2007, 12:08

uwe-b

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1. Hier musst du erstmal die Ebenengleichungen aufstellen. Dann kannst du mit der Hesse Normalenform den Abstand berechnen.

Link: http://sites.inka.de/picasso/Cappel/abstand.html#PE

Edit: Für den Flächeninhalt der Dreicke gibt es eine Formel. Suche sie grad.

17.01.2007, 12:21

uwe-b

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Also:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\vec{a}^2 \vec{b}^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2=\vec{a} \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$ Skalarprodukt.

17.01.2007, 12:23

ldub13

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kann ich das nicht so machen, indem ich die drei möglichen ebenengleichungen aufstelle und dann mit dem punkt gleichsetzte und so nach lambda oder nach mü auflöse ?! und dann die ergebnisse wieder in meine ursprüngliche ebenengleichung einfüge und dann von ergebniss den betrag errechne ?!
Ist das überhaupt möglich?!

17.01.2007, 12:27

uwe-b

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Was bekommst du denn raus, wenn du $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hast und dann in der Ebenengleichung einsetzt?

Das ist wieder der Punkt, den du mit der Ebene gleichgesetzt hast.

Also geht dies nicht.

17.01.2007, 12:35

ldub13

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ne ich habe für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -0.2 raus und für mü hab ich -3/2. wenn ich das einsetzte kommt bei mir am ende $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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17.01.2007, 12:53

uwe-b

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von welcher ebene und punkt hast dies ergebnis?

17.01.2007, 17:42

ldub13

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ich bin soweit dass ich die ebenengleichungen aufgestellt habe.jetzt versuche ich es mit der Hessesche Normalenform .
aber ich weis nicht wie man soetwas auflöst

d= $\begin{eqnarray*} \mid [\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}] * 1/ \sqrt{98} * \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\mid \end{eqnarray*}$

ist d gleich 207.88 ?! habe ihc das richtig gerechnet?!

17.01.2007, 17:49

uwe-b

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einfach ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} d= \frac{1}{\sqrt{98}} \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2007, 17:52

ldub13

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ist d gleich 207.88 ?!

17.01.2007, 17:56

mYthos

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*verschoben*

mY+

17.01.2007, 17:56

uwe-b

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wie kommst du darauf?

17.01.2007, 18:00

ldub13

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ahhh.. mein fehler... is doch nur 2.1213... der abstannd.. weil hab nur 21*wurzel aus 98 gemacht, da muss aber 21* 1/wurzel aus 98

ist das ergebniss jetzt richtig ?

17.01.2007, 18:04

uwe-b

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Freude

jetzt ist es richtig.

17.01.2007, 18:04

ldub13

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VIELEN VIELEN dank nochma!!!!! smile

smile

smile

17.01.2007, 18:13

riwe

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nur interesse halber:
was rechnet ihr beide denn da gerade: welche ebene, welches dreieck, welchen abstand verwirrt

verwirrt

soweit ich es sehe, stimmt da - höflich gesagt - net viel Big Laugh

Big Laugh

werner

18.01.2007, 17:49

ldub13

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sooo
ich habe folgende entfernungen der punkte zu den ebenen(dreiecken)
ABC zu D 1.459 LE
ACD zu B 0.774 LE
ABD zu C 5.61 LE
BCD zu A 0.432 LE

sind dei entfernungen richtig ?

18.01.2007, 18:57

riwe

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Zitat:

Original von ldub13
sooo
ich habe folgende entfernungen der punkte zu den ebenen(dreiecken)
ABC zu D 1.459 LE
ACD zu B 0.774 LE
ABD zu C 5.61 LE
BCD zu A 0.432 LE

sind dei entfernungen richtig ?

ohne gewehr/gewähr Big Laugh

Big Laugh

:
1) 1.4600
2) 0.7710
3) 2.4054
4) 0.1922
fifty: fifty verwirrt

verwirrt

und die flächen der 3-ecke verwirrt

verwirrt

werner

18.01.2007, 19:31

ldub13

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3) 2.4054
4) 0.1922
und wei kommste drauf ?

18.01.2007, 19:47

riwe

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Zitat:

Original von ldub13
3) 2.4054
4) 0.1922
und wei kommste drauf ?

und wie du Big Laugh

Big Laugh

werner

18.01.2007, 20:30

ldub13

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hab die hessische normalenform agewendet

----->
dreieck ABD

d=[(-2/1/-1)-(3/1/2)] *1/7.483 *(6/-2/-4)

dreieck BCD

d=[(3/1/2)-(5/3/4)] *1/41.629 *(-24/-1/34)

und so komme ich auf meine ergebnisse

18.01.2007, 20:54

riwe

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Zitat:

Original von ldub13
hab die hessische normalenform agewendet

----->
dreieck ABD

d=[(-2/1/-1)-(3/1/2)] *1/7.483 *(6/-2/-4)

dreieck BCD

d=[(3/1/2)-(5/3/4)] *1/41.629 *(-24/-1/34)

und so komme ich auf meine ergebnisse

wo kommt denn diese grauenhafte verballhornung der HNF her verwirrt

verwirrt

ich nix verstehen. unglücklich

unglücklich

kannst du mir einmal die gleichungen der ebenen
E1(ABD) und E2(BCD) posten.

ich habe da -rechenfehler vorbehalten:
E1: 3x - y - 2z - 4 = 0
E2: 24x + y - 34z + 13 = 0

also stimmen wir uns einmal ab
werner

18.01.2007, 21:15

ldub13

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E1(ABD)
(3/1/2)+ lambda(2/2/2) + mü(-2/-4/-1)
n=(6/-2/-4)

E2(BCD)
(5/3/4)+ lambda(-7/-2/-5) + mü(-4/-6/-3)
n=(-24/-1/34)

18.01.2007, 21:28

riwe

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Zitat:

Original von ldub13
E1(ABD)
(3/1/2)+ lambda(2/2/2) + mü(-2/-4/-1)
n=(6/-2/-4)

E2(BCD)
(5/3/4)+ lambda(-7/-2/-5) + mü(-4/-6/-3)
n=(-24/-1/34)

zu E1: $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ stimmt so, habe ich zumindest auch unglücklich

unglücklich

damit hast du $\begin{eqnarray*} 3x-y-2z=d \end{eqnarray*}$
nun A einsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} 3x-y-2z-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} HNF: \frac{3x-y-2z-4}{\sqrt{14}}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(C,E_1)=\frac{9}{\sqrt{14}}=2.4054... \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

womit wir wieder be der HNF-form wären.....
werner

18.01.2007, 21:30

ldub13

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http://sites.inka.de/picasso/Cappel/lsgen.html#L3

das habe ich zur hilfe genommen und da meinen entferntzen punkt eingesetzt und den normalenvektor usw... uhdn habe was anderes als du.. abe ich denk ma das du mehr ahnung hast als ich vondaher.... verwirrt

verwirrt

18.01.2007, 21:38

riwe

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Zitat:

Original von ldub13
http://sites.inka.de/picasso/Cappel/lsgen.html#L3

das habe ich zur hilfe genommen und da meinen entferntzen punkt eingesetzt und den normalenvektor usw... uhdn habe was anderes als du.. abe ich denk ma das du mehr ahnung hast als ich vondaher.... verwirrt

verwirrt

keine ahnung, ob ich mehr ahnung habe...
aber ich habe es so gelernt:

$\begin{eqnarray*} E: ax + by + cz + d = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} HNF:\frac{ax + by + cz + d}{\sqrt{a²+b²+c²}}=0 \end{eqnarray*}$

abstand des punktes $\begin{eqnarray*} P(x_p/y_p/z_p) \end{eqnarray*}$ von E:

$\begin{eqnarray*} d(P;E)=\mid\frac{ax_p + by_p + cz_p + d}{\sqrt{a²+b²+c²}}\mid \end{eqnarray*}$

und das hat bis heute immer gestimmt,
und ich bin 66,
allerdings fängt da das leben erst an.... Big Laugh

Big Laugh

werner

18.01.2007, 21:46

ldub13

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aufjedenfall danke f+ür deine bemühungen... reicht für heute.... werde morgen in der schule sehn wenn ich´s vortragen werde

18.01.2007, 21:46

riwe

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viel erfolg
werner

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