Zerfällungskörper für ein Polynom in Z/2Z

08.02.2012, 23:01

LyriaEL

Zerfällungskörper für ein Polynom in Z/2Z

Hallo

Zerfällungskörper für Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ klappen mittlerweilen ziemlich gut, doch beim Zerfällungskörper für Polynome aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /2 \mathbb Z [x] \end{eqnarray*}$ gehts einfach nicht weiter.
Hier nocheinmal die Aufgabe:

Aufgabe
Geben Sie für folgende Polynome einen Zerfällungskörper an:

$\begin{eqnarray*} x³ + x + 1 \in (\mathbb Z / 2 \mathbb Z)[x] \end{eqnarray*}$

Ideen
Im Prinzip suche ich ja 'einfach' die Nullstellen dieses Polynom und möchte dann Z/2Z mit diesen erweitern, damit das Polynom über diesem Körper in lineare Faktoren zerfällt.

Die letzten drei Stunden habe ich damit verbracht, dass ich irgendwelchen Theorien hinterher gejagt habe, die sich mit kubischen Gleichungen beschäftigen. Interessant fand ich den ansatz, dass man x mit (u+v) substituiert und dann ein quadratisches Hilfspolynom (quadratische Resolvente) bekommt, welches man wiederum auflösen kann (können sollte). Die Terme sind aber unglaublich kompliziert mit einigen Wurzeln zuviel für meinen Geschmack. Ich werde auch hier das Gefühl nicht los, dass ich in eine falsche Richtung renne.

Ich frage mich, ob man bei endlichen Körpern generell anders vorgeht. Leider habe ich dazu nichts gefunden. Vielleicht fehlt mir dafür auch einfach das richtige Stichwort.

Ich wäre wirklich sehr froh, wenn ihr mir helfen könntet.

Liebe Grüsse
lyri

09.02.2012, 01:44

juffo-wup

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Der von dir erwähnte Ansatz ist nicht für Charakteristik 2 (oder 3) geeignet.

Um einen Zerfällungskörper anzugeben, musst du nicht unbedingt die Nullstellen 'kennen' im Sinne von irgendwie mit schon bekannten Dingen ausdrücken. Bei Q oder R als Ausgangskörper hat man den Vorteil, dass jegliche Nullstellen von Polynomen in C liegen und man C gut kennt. Im Allgemeinen kann man sich die Nullstellen aber auch einfach formal dazuadjungieren. Dafür (und für die algebraischen Eigenschaften des entstehenden Körpers) spielt dann nur der Grundkörper und deren Minimalpolynom eine Rolle. Die Frage ist ja auch nur, was für ein Körper so entsteht.

Wahrscheinlich kennst du das mit der formalen Adjunktion. $\begin{eqnarray*} K[X]/(f) \end{eqnarray*}$ kann man als Erweiterungskörper von K auffassen, in dem das in K[X] irreduzible Polynom f eine Nullstelle hat.

Der erste Schritt hier wäre mal zu prüfen, ob das gegebene Polynom irreduzibel ist.

09.02.2012, 07:31

LyriaEL

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Guten Morgen juffo-wup

Vielen Dank schon mal für deine Antwort. Mir kommt manches schon viel sinnvoller vor.
Ich muss leider bald auf den Zug hüpfen, deswegen hier nur der erste Teil:

Das Polynom ist in diesem Körper irreduzibel. Herausgefundenhabe es so, dass ich alle möglichen reduziblen Polynome vom Grad zwei aufgeschrieben habe. Diese Vorgehensweise ist zwar etwas simple, aber ich glaube, das reicht um zu zeigen, dass es nicht reduzibel ist.

Wäre dann hier die Körpererweiterung einfach $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / 2 \mathbb Z )/(x³+x+1) \end{eqnarray*}$ ? Das käme mir zwar bekannt vor, aber Verstehen tue ich es noch nicht ganz. Ich werd mal etwas recherchieren gehen :-)

Vielen Dank soweit mal, ich werde mich später nocheinmal melden.

09.02.2012, 09:54

LyriaEL

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So, ich fühl mich jetzt ein gutes Stück schlauer. Ich habe entsprechend das Kapitel über Adjungtion gelesen. Ich bin jetzt überzeugt, dass die Lösung der Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[x]/(x^3 +x + 1) \end{eqnarray*}$ ist.

( $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[x] \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z [x] \end{eqnarray*}$ , oder?)

Aber ein paar offene Fragen bleiben noch.
- Warum ist es wichtig, dass das Polynom irreduzibel ist? Mal angenommen ich hätte $\begin{eqnarray*} (x^2 +1) \end{eqnarray*}$ genommen. Wo wäre das Problem?
- In der Theorie, die ich gelesen habe, ist eigentlich immer die Rede von Ringen. Ich suche aber einen Zerfällungskörper. Es wird zwar nebenbei einmal erwähnt, dass es im Falle eines Beispiels gerade ein Körper ist, aber nicht wann es ein Körper ist und wann nicht.

Ich vermute, dass meine erste und meine zweite Frage zusammenhängen, dass sehrwahrscheinlich die Adjungtion gerade dann einen Körper gibt, wenn das Polynom irreduzibel ist, aber finde finde keine entsprechenden Sätze oder ähnliches.

09.02.2012, 11:04

juffo-wup

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Zitat:

Original von LyriaEL
Das Polynom ist in diesem Körper irreduzibel. Herausgefundenhabe es so, dass ich alle möglichen reduziblen Polynome vom Grad zwei aufgeschrieben habe. Diese Vorgehensweise ist zwar etwas simple, aber ich glaube, das reicht um zu zeigen, dass es nicht reduzibel ist.

Das ist ok und die Methode ist natürlich auch für Polynome höhereren Grades verwendbar, sodass es gut ist sie zu kennen. Für Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ gibt es noch ein einfachereres Kriterium für Irreduzibilität, nämlich sind sie genau dann irreduzibel, wenn sie keine Nullstelle (im Grundkörper) haben. Denn wenn sie reduzibel sind, müssen sie ja auch schon einen Linearfaktor abspalten. Man hätte also hier nur prüfen müssen, ob 0 und 1 Nullstellen sind.

Zitat:

Wäre dann hier die Körpererweiterung einfach $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / 2 \mathbb Z )/(x³+x+1) \end{eqnarray*}$ ?

Das kann nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} x^3+x+1\not\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ aber falls du es mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ meintest, ja.

Zitat:

Ok. Ja, das ist das gleiche.

Zitat:

Aber ein paar offene Fragen bleiben noch.
- Warum ist es wichtig, dass das Polynom irreduzibel ist? Mal angenommen ich hätte $\begin{eqnarray*} (x^2 +1) \end{eqnarray*}$ genommen. Wo wäre das Problem?
- In der Theorie, die ich gelesen habe, ist eigentlich immer die Rede von Ringen. Ich suche aber einen Zerfällungskörper. Es wird zwar nebenbei einmal erwähnt, dass es im Falle eines Beispiels gerade ein Körper ist, aber nicht wann es ein Körper ist und wann nicht.

Es entsteht kein Körper, wenn das Polynom nicht irreduzibel ist. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ (das ist ja erstmal als Restklassenring definiert, was ein Körper sein kann aber nicht muss) kein Körper. Um sich das hier zu veranschaulichen: $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)=\{a\overline x+b\, |\, a,b\in \mathbb{F}_2\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ die Restklasse von $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{F}_2[x] \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ ist. (Jedes Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x] \end{eqnarray*}$ lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray*} q(x^2+1)+r \end{eqnarray*}$ für zwei Polynome $\begin{eqnarray*} q,r\in \mathbb{F}_2[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} grad(r)<2 \end{eqnarray*}$ und daher ist es modulo $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ zu einem Polynom vom Grad <2 kongruent.)
D.h. $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)=\{0,1,\overline x,\overline x+1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ haben Inverse, nämlich sich jeweils selbst: $\begin{eqnarray*} \overline x ^2=(\overline x ^2+1)+1=0+1=1 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} \overline x+1 \end{eqnarray*}$ invertierbare wäre, müsste es sich selbst als Inverses haben. Aber $\begin{eqnarray*} (\overline x+1)^2=\overline x^2+1=0 \end{eqnarray*}$
Man hätte auch daraus, dass $\begin{eqnarray*} \overline x+1 \end{eqnarray*}$ Nullteiler ist, schließen können, dass der Restklassenring kein Körper sein kann.
Es ist übrigens $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)\cong \left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2 \end{eqnarray*}$
Wenn du Lust hast, kannst du die gleiche Überlegung ja mal für das irreduzible Polynom $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ durchführen und sehen, dass das dann ein Körper ist.

Es gibt auch einen abstrakten Beweis, dass immer gerade dann ein Körper herauskommt, wenn das Polynom irreduzibel ist. Der sollte eigentlich in jedem Algebrabuch zu finden sein. Der Beweis geht ungefähr so: Der Polynomring ist ein Hauptidealring und die Primideale sind gerade die von irreduziblen Polynomen erzeugten Ideale, und das sind auch genau die maximalen Ideale. Weil der Restklassenring genau dann ein Körper ist, wenn man ein maximales Ideal herausteilt, folgt die gewünschte Aussage.

Du hast allerdings noch eine Sache bei dem Schluss, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^3+x+1) \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper sein soll, ignoriert. Dieser Körper, den man durch Restklassenbildung erhält, ist zwar immer ein Erweiterungskörper (die Polynome vom Grad 0 werden mit den Elementen des ursprünglichen Körpers identifiziert), in dem das irreduzible Polynom eine Nullstelle hat (nämlich $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ ), aber es ist im Allgemeinen nicht immer schon der Zerfällungskörper dieses Polyoms. Es ist ein Körper, der durch Adjunktion einer Nullstelle (eben $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ ) des Polynoms entsteht. Zum Beispiel ist ja auch nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x]/(x^3-2)\cong\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ schon der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^3-2\in\mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$
Nun kann man beweisen, dass es bei endlichen Körpern wirklich immer so ist, dass man durch diese eine Adjunktion schon den gesamten Zerfällungskörper erhält. Ich weiß aber nicht, ob du das voraussetzen darfst (Es ist aber auch nicht sehr schwer zu beweisen, wenn man ein bisschen über endliche Körper weiß.). Eine elementare Möglichkeit, das Gewünschte speziell für dieses Beispiel zu beweisen, wäre sich die Elemente analog zu oben konkret hinzuschreiben und dann die anderen Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^3+x+1) \end{eqnarray*}$ zu "finden".

09.02.2012, 22:52

LyriaEL

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Zitat:

aber falls du es mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ meintest, ja.

Meinte ich Augenzwinkern

Zitat:

D.h. $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)=\{0,1,\overline x,\overline x+1\} \end{eqnarray*}$

Es hat etwas Zeit in Anspruch genommen, bis ich selbst auch auf diese Elemente kam, aber hinterher scheint es ziemlich offensichtlich.

Zitat:

Man hätte auch daraus, dass $\begin{eqnarray*} \overline x+1 \end{eqnarray*}$ Nullteiler ist, schließen können, dass der Restklassenring kein Körper sein kann.

...stimmt, Körper sind nullteilerfremd.

Zitat:

Wenn du Lust hast, kannst du die gleiche Überlegung ja mal für das irreduzible Polynom $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ durchführen und sehen, dass das dann ein Körper ist.

Hab ich prompt gemacht.
Die Elemente bleiben die gleichen, nämlich: $\begin{eqnarray*} \{0,1, \overline{x}, \overline{x}+1\} \end{eqnarray*}$
Ebenson ist auch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ wieder selbstinvers. Doch im Unterschied zum vorigen Beispiel, sind die beiden andern Elemente jeweils inverse zueinander. Damit hat jedes Element (ausgenommen natürlich dem Neutralen der Addition) ein Inverses und wir haben einen Körper.

Ich habe mir noch die Elemente und die entsprechende Gruppentabelle von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 /(x³+x+1) \end{eqnarray*}$ angeschaut und wollte schauen, ob das auch hier klappt mit den Inversen. Das war leider etwas aufwendiger, aber glücklicherweise hat alles gestimmt.
Erst nach mehreren Anläufen ist mir jedoch klar geworden, dass ich sozusagen zweimal modula rechnen muss, einmal mit 2 und einmal mit (x³+x+1). Wenn man sich das überlegt ist das selbstverständlich, aber ich brauchte einen Moment, bis mir klar wurde dass wenn ich ein $\begin{eqnarray*} x³ + ... \end{eqnarray*}$ habe, dass dann Polynomdivision angesagt war.

Zitat:

Es gibt auch einen abstrakten Beweis, dass immer gerade dann ein Körper herauskommt, wenn das Polynom irreduzibel ist. Der sollte eigentlich in jedem Algebrabuch zu finden sein.

gefunden

M.Artin, Algebra
Lemma
"Sei K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom in K[x]. Dann ist der Ring L = K[x]/(f) ein Erweiterungskörper von K, und die Restklasse von $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ von x ist eine Nullestelle von f(x) in K."

Der Beweis geht ganz in die Richtung, wie du gesagt hast. Aber das überlege ich mir Morgen.

Zitat:

aber es ist im Allgemeinen nicht immer schon der Zerfällungskörper dieses Polyoms.

Insbesondere mit dem Beispiel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ leuchtet das ein. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich das voraussetzen darf, aber ich werde trotzdem tun Augenzwinkern

Zusammenfassend heisst das also, dass der Erweiterungskörper, der durch die Adjungktion eines irreduziblen Poylnom entsteht, genau dann der Zerfällungskörper dieses Polynoms ist, wenn der Körper endlich ist.
Andernfalls muss man noch die weitern Nullstellen untersuchen. (Im Beispiel mit Q hiesse dass, dass man noch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hinzufügen müsste.

Super, ich habe einiges verstanden, aber der Weg ist noch lang und steinig.
Hab vielen Dank für deine Hilfe smile

10.02.2012, 00:17

juffo-wup

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Zitat:

Original von LyriaEL
Zusammenfassend heisst das also, dass der Erweiterungskörper, der durch die Adjungktion eines irreduziblen Poylnom entsteht, genau dann der Zerfällungskörper dieses Polynoms ist, wenn der Körper endlich ist.
Andernfalls muss man noch die weitern Nullstellen untersuchen. (Im Beispiel mit Q hiesse dass, dass man noch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hinzufügen müsste.

"genau dann..wenn" kann man nicht sagen. Es natürlich auch sonst mal so sein, dass man schon den Zerfällungskörper mit nur einer Nullstellenadjunktion erhält. Zum Beispiel ist das immer der Fall, wenn das irreduzible Polynom Grad 2 hat. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i) \end{eqnarray*}$ ist schon der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^2+1\in\mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$
In dem Beispiel mit den 3. Wurzeln aus 2 reicht es nicht, i hinzuzufügen. i liegt auch garnicht im Zerfällungskörper. Man braucht eine weitere Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ oder eine primitive 3. Einheitswurzel (eine komplexe Zahl ungleich 1 deren 3. Potenz 1 ist). $\begin{eqnarray*} \omega:=-\frac{1}{2}\left(1+i\sqrt{3}\right) \end{eqnarray*}$ ist so eine. Denn die anderen Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ neben $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \omega \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega^2\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ Aber das nur am Rande. Augenzwinkern

15.03.2012, 16:15

juergen007

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Zitat:

Original von juffo-wup
[quote]Original von LyriaEL
Man braucht eine weitere Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ oder eine primitive 3. Einheitswurzel (eine komplexe Zahl ungleich 1 deren 3. Potenz 1 ist). $\begin{eqnarray*} \omega:=-\frac{1}{2}\left(1+i\sqrt{3}\right) \end{eqnarray*}$ ist so eine. Denn die anderen Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ neben $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \omega \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega^2\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ Aber das nur am Rande. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \omega \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ ist natürlich nur in Körpern der Charakteristik 0 gemeint?
In welchen endlichen Körpern hat 3 ne Wurzel?
oder 2 ne 3te Wurzel?
Meinjanur Big Laugh

15.03.2012, 17:25

juffo-wup

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Zitat:

Original von juergen007
In welchen endlichen Körpern hat 3 ne Wurzel?

In ziemlich vielen eigentlich. Augenzwinkern

Wurzeln aus 3 sind Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^2-3 \end{eqnarray*}$
Für Charakteristik 2 ist 1 eine Lösung. Sonst, falls es keine Lösung in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ geben sollte, kann man natürlich einfach eine adjungieren.

Bei Charakteristik ungleich 3 gibt es immer 3 verschiedene 3. Einheitswurzeln. Denn die Ableitung des Polynoms $\begin{eqnarray*} x^3-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ und hat keine Nullstelle mit $\begin{eqnarray*} x^3-1 \end{eqnarray*}$ gemeinsam. Also hat $\begin{eqnarray*} x^3-1 \end{eqnarray*}$ keine doppelten Nullstellen. (anders als bei Char. 3, in dem Fall gibt es genau eine Nullstelle)

Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3-a \end{eqnarray*}$ lassen sich für eine gegebene Nullstelle $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ also für beliebige Körper mit Charakteristik ungleich 3 durch Produkte der 3. EHW mit $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beschreiben. Denn diese 3 Produkte sind Nullstellen, wie man schnell berechnet, und alle verschieden, da die EHW verschieden sind.

Dass die 3. Einheitswurzeln eine Gruppe mit Multiplikation bilden, sieht man auch schnell. Also muss es auch immer eine 3. EHW $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ geben sodass $\begin{eqnarray*} 1,\omega,\omega^2 \end{eqnarray*}$ genau die 3. EHW sind. Und diese EHW können nur (hinsichtlich algebraischer Eigenschaften) von der Charakteristik abhängen, nicht etwa von der genaueren Struktur des betrachteten Körpers, da es ja einfach die Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ sind und Zerfällungskörper bis auf Isomorphie eindeutig sind.

Sogar die Formel $\begin{eqnarray*} \omega=-\frac{1}{2}\left(1+i\sqrt{3}\right) \end{eqnarray*}$ gilt für beliebige Körper von Charakteristik ungleich 2 oder 3, wenn man $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ als eine primitive 4. Einheitswurzel und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als eine der Wurzeln aus 3 wählt. Der Beweis ist ja einfach durch ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray*} \omega^3 \end{eqnarray*}$ und feststellen das dies gleich 1 ist. (und $\begin{eqnarray*} \omega\neq 1 \end{eqnarray*}$ )

17.03.2012, 14:29

juergen007

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Zitat:

Original von juffo-wup

Zitat:

Original von juergen007
In welchen endlichen Körpern hat 3 ne Wurzel?

In ziemlich vielen eigentlich. Augenzwinkern

Ja alles klaa soweit smile

Ich hatte an rationale 3te Wurzeln x^3-8 = 0 z.B. in Z_13 gedacht.
die sind 5 und 6 .
Es gibt noch eine Nullstelle von x^3-8 mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{ZF}_(13) \end{eqnarray*}$
Nullstellen in Galoiskörpern sind irgenwie nicht mehr vorstellbar für mich. Also lassen sich nicht in C embedden.
J

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