Mittenpunkt im Dreieck berechnen

09.02.2012, 01:07

Redrosid

Mittenpunkt im Dreieck berechnen

Hallo.

Ich versuche den Mittenpunkt (nicht den Mittelpunkt) in einem Dreck berechnen. Ich habe die drei Eckpunkte (A,B und C) dieses Dreiecks gegeben.

Ich hab es auf die traditionalle Weise mit Stift und Papier versucht. Ich habe aus den Punkten drei Geraden bestimmt, die Orthogonalen gebildet, diese mit den Punkten auf der halben Strecke der Dreiecksschenkel verbunden und daraus wieder drei Geraden gebildet. Diese habe ich gleichgesetzt. Leider ist in der Megarechnung irgendwo ein Fehler im Detail. Oder mein Ansatz ist von Grund auf falsch.

Nun überlege ich ob es eine einfachere Variante gibt den Mittenpunkt zu berechnen. kennt jeman hier vielleicht Softwareprogramme (Freeware oder Demoversion), die dazu in der Lage sind, oder kann mit jemand einen einfachereren Weg sagen, wie ich an mein Ergebnis komme?

Danke im Vorraus, wenn jemand sich dieser kniffeligen Frage annhemen kann und möchte.

09.02.2012, 02:37

frank09

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RE: Mittenpunkt im Dreieck berechnen
Die trilinearen Koordinaten, die das Verhältnis der Abstände zu den Dreieckseiten a,b und c des Mittenpunkts beschreiben, lauten:

$\begin{eqnarray*} (b+c-a) \, : \, (c+a-b) \, : \, (a+b-c) \end{eqnarray*}$

Konstruieren lässt sich das wie folgt:

Verhält sich der Abstand von Seite a zu Seite b z.B. 1:2, dann zieht man eine Parallele
zu Seite a und eine zu Seite b in doppeltem Abstand. Den Schnittpunkt verbindet man mit Ecke C. Auf dieser Geraden liegt dann der gesuchte Punkt. Analog kostruiert man eine Gerade bezüglich b und c und findet über den Schnittpunkt den gesuchten Punkt.

Wie man in X-Y-Koordinaten umrechnen kann, findet man hier:
http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html

09.02.2012, 09:25

riwe

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RE: Mittenpunkt im Dreieck berechnen
was ist denn der MITTENpunkt eines 3ecks verwirrt

meinst du den umkreismittelpunkt?

09.02.2012, 09:51

MrBlum

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RE: Mittenpunkt im Dreieck berechnen
Habe das gefunden: KLICK

LG

09.02.2012, 11:54

riwe

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RE: Mittenpunkt im Dreieck berechnen

Zitat:

Original von MrBlum
Habe das gefunden: KLICK

LG

dankeschön

09.02.2012, 14:40

riwe

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RE: Mittenpunkt im Dreieck berechnen
mit den bezeichnern aus dem bilderl erhält man M so:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{c\cdot(a\cdot(b+c)-c_1\cdot(a+b+c-c_1))}{2\cdot(2ab\cdot(a+b)-c\cdot(a\cdot(b+c)-c_1\cdot(a-b+c-c_1)))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{m}==\begin{pmatrix} \frac{c_1}{2} \\ \frac{c_2}{2} \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} a+b-c+c_1\\ \frac{c_2}{c_1-a}\cdot(b-c+c_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

onegewer Augenzwinkern

edit: im nenner der y-koordinate das vorzeichen verdreht

$\begin{eqnarray*} a-c_1\to c_1-a \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 00:12

frank09

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RE: Mittenpunkt im Dreieck berechnen
@riwe:
leider ist nicht ersichtlich, wie du auf diese Formel kommst.
Sie führt zumindest bei mir nicht zum richtigen Ergebnis:
Sei $\begin{eqnarray*} A(0|0),B(7|0), C(3|4) \end{eqnarray*}$
somit $\begin{eqnarray*} a=5,657; b=5; c=7 \end{eqnarray*}$
Nun ergeben sich als trilineare Koordinaten (b+c-a): (c+a-b): (a+b-c)
$\begin{eqnarray*} 6,343:7,657:3,657 \end{eqnarray*}$ als Verhältnis der Abstände von M zu a,b und c.
Mithilfe der Einheitsnormalenvektoren zu den Seiten a,b,c
$\begin{eqnarray*} \vec{n_a}=\begin{pmatrix}- 0,7071 \\ -0,7071 \end{pmatrix} \vec{n_b}=\begin{pmatrix} 0,8 \\ -0,6 \end{pmatrix}\vec{n_c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
lassen sich die geforderten Abstandsverhältnisse wie folgt darstellen:
$\begin{eqnarray*} (\vec{m}-\vec{OB})*\vec{n_a}=- 0,7071x+4,9497 -0,7071y=6,343k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\vec{m}-\vec{OA})*\vec{n_b}=0,8x -0,6y=7,657k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\vec{m}-\vec{OA})*\vec{n_c}=y=3,657k \end{eqnarray*}$

die Lösung dieses Gleichungssystems führt zu
$\begin{eqnarray*} x=3,45; y=1,026 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \vec{m}=\begin{pmatrix} 3,456 \\ 1,026 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dieser Wert wird durch grafische Konstruktion bestätigt, ist also richtig.
Bei deiner Formel komme ich auf t=0,3712 damit ergibt sich M(3,97|2,56)

10.02.2012, 07:26

Leopold

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Ich bestätige dieses Ergebnis für die von dir gewählten Punkte. Exakt gilt:

$\begin{eqnarray*} M = \left( \frac{131 + 32 \sqrt{2}}{51} \, , \, \frac{58 - 4 \sqrt{2}}{51} \right) \end{eqnarray*}$

Siehe auch die beigefügte Euklid-Datei. Man ziehe an den Punkten $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ .

10.02.2012, 14:31

riwe

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naja, ich habe mit deinen zahlen

$\begin{eqnarray*} t\approx 0.29382905 \end{eqnarray*}$

und damit exakt das ergebnis von Leopold, siehe bilderl.

allerdings ist mir bei der y-koordinate ein VZ-fehler unterlaufen, den ich oben korrigiert habe, die x-koordinate stimmt, siehe oben Augenzwinkern

daher auch wie immer: onegewer Augenzwinkern

10.02.2012, 16:54

riwe

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Zitat:

Original von riwe
mit den bezeichnern aus dem bilderl erhält man M so:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{c\cdot(a\cdot(b+c)-c_1\cdot(a+b+c-c_1))}{2\cdot(2ab\cdot(a+b)-c\cdot(a\cdot(b+c)-c_1\cdot(a-b+c-c_1)))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{m}==\begin{pmatrix} \frac{c_1}{2} \\ \frac{c_2}{2} \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} a+b-c+c_1\\ \frac{c_2}{c_1-a}\cdot(b-c+c_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

onegewer Augenzwinkern

edit: im nenner der y-koordinate das vorzeichen verdreht

$\begin{eqnarray*} a-c_1\to c_1-a \end{eqnarray*}$

edit2:
nach langem grübeln noch dazu: ich habe wie im bilderl ersichtlich, (leider) die 3ecksseiten nicht wie üblich bezeichnet, sondern die bezeichner a und b vertauscht und auch damit gerechnet.
daraus dürfte dann das mißverständnis resultieren

also mit der üblichen seitenbezeichnung

$\begin{eqnarray*} t=\frac{c\cdot(b\cdot(a+c)-c_1\cdot(a+b+c-c_1))}{2\cdot(2ab\cdot(a+b)-c\cdot(b\cdot(a+c)-c_1\cdot(-a+b+c-c_1)))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{m}==\begin{pmatrix} \frac{c_1}{2} \\ \frac{c_2}{2} \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} a+b-c+c_1\\ \frac{c_2}{c_1-b}\cdot(a-c+c_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich denke und hoffe, nun stimmt´s in jeder beziehung Augenzwinkern

womit man nun

$\begin{eqnarray*} t=\frac{13+12\sqrt{2}}{102} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_m=\frac{131+32\sqrt{2}}{51}\wedge y_m=\frac{58-4\sqrt{2}}{51} \end{eqnarray*}$

erhält

halleluja Augenzwinkern

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