Beweis der Rechengesetze in Z und Q

09.02.2012, 23:10	OhneDurchblick	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Rechengesetze in Z und Q Hallo ihr Freunde des mathematischen Beweises, ich bin schrecklich verzweifelt, weil ich kurz vor den Klausuren noch immer nicht weiß, wie ich u.a. das AG und KG der Addition und Multiplikation in Z (und schon gar nicht in Q) beweisen kann. Die Addition in Z haben wir wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \left[\left(a,b\right) \right] \oplus \left[\left(c,d\right)\right]:= \left[\left(a+c,b+d\right) \right] \end{eqnarray}$ und die Multiplikation so: $\begin{eqnarray} \left[\left(a,b\right) \right] \otimes \left[\left(c,d\right)\right]:= \left[\left(ac+bd,ad+bc\right) \right] \end{eqnarray}$ Nun habe ich nur das AG und einigermaßen das KG der Addition in Z beweisen können, für alle anderen Schritte gehen mir die Argumente aus, weil ich nicht weiß, auf welcher Grundlage ich umformen soll. Ich wäre wirklich sehr erleichtert, wenn sich jemand die Mühe machen könnte, mir dabei zu helfen bzw. mir zu sagen, wie ich von der linken auf die rechte Seite komme... Hier meine Ansätze zur KG in der Multiplikation: linke Seite $\begin{eqnarray} = \left[\left(ac+bd,ad+bc\right) \right] \end{eqnarray}$ rechte Seite \left[\left(ca+db,cb+da\right) \right] Nun sagt mir mein Wissen aus der Grundschule natürlich, dass es egal ist, ob da ac oder ca steht, nur will ich ja GENAU DAS beweisen! Wie mache ich das? Auf welcher Grundlage? Genau so beim AG in der Multiplikation: $\begin{eqnarray} (\left[\left(a,b\right) \right] \otimes \left[\left(c,d\right) \right]) \otimes \left[\left(e,f\right) \right] = \left[\left(a,b\right) \right] \otimes (\left[\left(c,d\right) \right]) \otimes \left[\left(e,f\right) \right]) \end{eqnarray}$ Schöne Sache, nach Anwendung der Definition der Multi komme ich links zu $\begin{eqnarray} [(ac+bd,ad+bc)]\otimes [(e,f)] <br /> = [(ac+bd)e+(ad+bc)f,(ac+bd)f+(ad+bc)e) <br /> = [(ace+bde+adf+bcf),(acf+bdf+ade+bce)] \end{eqnarray}$ Nur wie komme ich ohne Anwendung des Vertauschungsgesetzes zur rechten Seite? Normal würde ich ja einfach die Summanden innerhalb der Klammern verschieben und dann den gleichen Weg zurückgehen, um rechts anzukommen, aber das darf ich doch nicht, oder? Wie geht das? Kann mir bitte jemand helfen?
11.02.2012, 13:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt das wirklich in einer Klausur ? Dauert doch viel zu lange. Siehe das grundlegende Buch von Edmund Landau (Titel habe ich vergessen.) Für eine Klausurvorbereitung musst du herausfinden, was drankommen kann, und das musst du üben.
12.02.2012, 09:31	OhneDurchblick	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaja, genau das kommt in einer Klausur... Es sollen in etwa 10 Aufgaben gestellt werden und ich erahne, dass ich sowas von scheitern werde...Da bleibt nicht mal Zeit zum Nachdenken sollte man meinen Habe jetzt allerdings die Info bekommen, dass wir immer mit einem der Rechengesetze aus einem niedrigeren Zahlenbereich beweisen können, sprich ich kann theoretisch die kompletten Umformungen mit den RG aus N begründen.
12.02.2012, 11:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Theoretisch, ja. Das Problem ist die Langwierigkeit dieser Durchführungen. Viel Erfolg.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »