Isomorphe Körper

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10.02.2012, 10:02	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphe Körper Welche der Unterkörper $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}), \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}e^{(2\Pi i)/3}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},e^{(2\Pi i)/3}) \end{eqnarray}$ sind isomorph? Wie geht man hier vor? Im Prinzip handelt es sich ja um Nullstellen des Polynoms X^3 -5. Für den ersten Körper ist es ja gerade das Minimalpolynom.
10.02.2012, 10:30	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, dass zueinander isomorphe Körper den gleichen Grad über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ haben müssen. Untersuche die Körper also erstmal auf ihren Grad. Von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}\zeta_3) \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \zeta_3:=\exp\left( \frac{2 \pi i}{3} \right) \end{eqnarray}$ ) gibt es eine offensichtliche Abbildung, die man auf die Eigenschaft, Körperisomorphismus zu sein, untersuchen könnte. Edit: Oder alternativ, falls dir dies bekannt ist: Sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ algebraisch über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\alpha) \cong \mathbb{Q}[X]/(\mu) \end{eqnarray}$ .
10.02.2012, 10:49	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left[\mathbb Q(\sqrt[3]{5}):\mathbb Q \right] = 3 \end{eqnarray}$ , da X^3-5 das Minimalpolynom ist. $\begin{eqnarray} \left[\mathbb Q(\sqrt[3]{5}e^{(2pii)/3} ):\mathbb Q \right]=3 \end{eqnarray}$ , da X^3-5 das Minimalpolynom ist. also isomorph? $\begin{eqnarray} \left[\mathbb Q(\sqrt[3]{5},e^{(2pii)/3} ):\mathbb Q \right]=? \end{eqnarray}$
10.02.2012, 10:57	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichheit der Grade ist für die Isomorphie der Körper nur notwendig, aber nicht hinreichend (Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2})\not\cong \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ ). Also verwende einen meiner Tipps. Um $\begin{eqnarray} [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\zeta_3):\mathbb{Q}] \end{eqnarray}$ herauszubekommen verwende den Gradsatz: ist $\begin{eqnarray} K\subseteq M \subseteq L \end{eqnarray}$ ein Turm von Körpererweiterungen, so ist $\begin{eqnarray} [L:K]=[L:M][M:K] \end{eqnarray}$
10.02.2012, 11:12	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \cdot e^{(2pii)/3} \end{eqnarray}$ sind algebraisch über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray} X^{3}-5 =: \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt[3]{5} \cong \mathbb Q[X]/(\beta ) \cong \mathbb Q(\sqrt[3]{5}\cdot e^{(2pii)/3} ) \end{eqnarray}$
10.02.2012, 11:16	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber was ist mit dem dritten Körper?
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10.02.2012, 11:16	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left[\mathbb Q(\sqrt[3]{5}, e^{(2pii)/3}) : \mathbb Q \right] = 3 3 = 9<br /> <br /> \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht isomorph zu den anderen Körpern.
10.02.2012, 11:22	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, was ist $\begin{eqnarray} [\mathbb{Q}(\zeta_3):\mathbb{Q}] \end{eqnarray}$ ? Betrachte das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \zeta_3 \end{eqnarray}$ .
10.02.2012, 11:26	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
Lautet das Minimalpolynom nicht $\begin{eqnarray} X^{3}-1 \end{eqnarray}$ ?
10.02.2012, 11:32	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht irreduzibel. Sagt dir der Begriff des Kreisteilungspolynoms etwas? Ansonsten hier elementar: 1 ist Nullstelle.
10.02.2012, 11:39	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} (X-1)(X^{2}+X+1) = X^{3} -1 \end{eqnarray}$ ist, ist $\begin{eqnarray} X^{2}+X+1 \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom. Und die Körpererweiterung ist demnach vom Grad 6 (3*2).
10.02.2012, 11:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
10.02.2012, 11:41	chewbaca09	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe.

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