Kann die Determinante einer bestimmten Matrix verschiedene Werte annehmen?

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Anonymos247 Auf diesen Beitrag antworten »
Kann die Determinante einer bestimmten Matrix verschiedene Werte annehmen?
Meine Frage:
Kann die Determinante einer bestimmten Matrix verschiedene Werte annehmen?

Meine Ideen:
Wenn ich beispielsweise diese Matrix habe:

100
010
001

Dann ist die Determinante ja 1! Ich darf ja aber eine Zeile mit einer belieben reelen Zahl multiplizieren, wie bei dem Gauß-Verfahren. Angenommen ich nehme die erste Zeile mal 5. Dann ist die Determinante der Matrix ja 5 und nicht mehr 1. Aber laut dem Gauß ist das ja in Ordnung?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann die Determinante einer bestimmten Matrix verschiedene Werte annehmen?
Zitat:
Original von Anonymos247
Ich darf ja aber eine Zeile mit einer belieben reelen Zahl multiplizieren


Ja, sicher darfst du das. Aber hat irgendjemand behauptet, dabei ändere sich die Determinante nicht? verwirrt
anonymos246 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann die Determinante einer bestimmten Matrix verschiedene Werte annehmen?
Die Determinante ändert sich von 1 auf 5.

Aber kann man dann nicht mit dem Gauß verfahren auf verschiedene Lösungen kommen?

Mit dem Satz von LaPlace habe ich bei dieser Matrix:

0 -1 0 4
-5 2 4 3
0 0 -2 0
1 -3 6 -4

eine Determinante von 138 raus. Und mit dem Gauß komme ich auf 69/13??

Kann das sein?
tychiades Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Die Antwort ist ganz kurz: Jede quadratische Matrix hat genau eine Determinante.

Du musst dich also verrechnet haben (entweder beim Gauß-Algorithmus oder beim Laplaceschen Entwicklungssatz). Im Übrigen kann das bei einer 4x4-Matrix mit unschönen Einträgen durchaus zu viel Rechenaufwand führen, jedenfalls wenn man es per Hand macht. Daher rate ich dir zur Verwendung eines CAS wie Maple (es gibt auch gute nicht-proprietäre CAS, z. B. sage).

Gruß,
tychiades
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Die Determinante ist deterministisch. Die Determinante einer Matrix bildet auf genau einen reellen Wert ab.

Was du meinst ist Folgendes: Wenn du für das Gauß-Verfahren eine Zeile mit einer Zahl multiplizierst, musst du das auch bei der Determinante berücksichtigen. Das heißt natürlich auch: Eine Matrix und eine per Gauß auf obere Dreiecksform gebrachte Matrix haben nicht! die gleiche Determinante. Du musst dir Merken, mit welchen Zahlen du eine Zeile multiplizierst und wie oft du Zeilen getauscht hast. Und mit dessen Kehrwert muss dann die Determinante multipliziert werden.

Bsp:

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Regel geht es ja darum ob eine Determinante positiv oder negativ ist. Beziehungsweise welche Vorzeichen die Hauptminoren haben, um zu bestimmen welches lokale Extremum (Maximum oder Minimum) vorliegt. Zwei Beispiele bei der die 1. Zeile mit x multipliziert wurden.

1 0 0
0 1 0
0 0 1
Determinanten der Haupminoren
1
1
1


5 0 0
0 1 0
0 0 1

Multipliziert mit 5

Determinanten der Haupminoren
5
5
5

komplexer aufgebaute Matrix

2 8 -4
-1 -4 7
2 -6 1

Determinanten der Haupminoren
2
0
140


multipliziert mit 2

4 16 -8
-1 -4 7
2 -6 1

Determinanten der Haupminoren
4
0
280




Dies gilt aber nicht zwingend, wenn man mit x<0 multipliziert. Dann kann aus einem Maximum auch ein Minimum werden. Und umgekehrt. Ist ja logisch, denn wenn aus f(x) = x^2 die Funktion g(x) = - x^2 wird, dann dreht sich ja die Funktion um, und zwar um die x-Achse. Aber um ein lineares Gleichungssystem zu lösen kann man jede Spalte und jede Zeile multiplizieren wie man will (außer 0).
 
 
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