Beispiele für Folgen

10.02.2012, 22:38

Matzemathiker

Beispiele für Folgen

Hallo Leute,

ich brauch da mal eure Unterstützung:

Für eine Folge mit genau ein Häufungspunkten (sei kein Folgnglied), NICHT konvergent konnte ich angeben:

$\begin{eqnarray*} a_{n} := 1 + (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und eine Folge ohne HP, weder eigentlich noch uneigentlich konvergent:

$\begin{eqnarray*} a_{n} := n \end{eqnarray*}$

oder habe ich was falsch gemacht, nicht beachtet?

P.S. gibt es konvergente Folgen, die 2 HP's haben ? Mir fällt dazu kein Beispiel ein.

10.02.2012, 23:14

tychiades

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Hallo,

du hast einen Fehler gemacht. Die erste Folge konvergiert gegen 1. Der Faktor (-1) beeinträchtigt die Konvergenz nicht.
Die zweite Folge ist ok, die hat keine HP und konvergiert nicht.

Ciao,
Tychiades

10.02.2012, 23:20

Calvin

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RE: Beispiele für Folgen

Zitat:

Original von Matzemathiker
P.S. gibt es konvergente Folgen, die 2 HP's haben ?

Nein, das widerspricht der Definition von Konvergenz. Wenn eine Folge mehr als einen Häufungspunkt hat, ist sie nicht konvergent.

10.02.2012, 23:31

Matzemathiker

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RE: Beispiele für Folgen
Danke!

Zu einer Folge mit genau ein Häufungspunkten (sei kein Folgnglied), NICHT konvergent fällt mir kein Beispiel ein, habt ihr vielleicht eine Idee ?

Gibt es also dementsprechend auch keine konvergente Folgen , die keinen HP haben !?

10.02.2012, 23:35

Louis1991

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RE: Beispiele für Folgen
Ist Konvergenz nicht genau so definiert?

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat (also insbesondere hat auch jede konvergente Folge genau einen Häufungspunkt).

E: Vergiss es... sollte natürlich auch noch beschränkt sein :/

10.02.2012, 23:35

tmo

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Dein 2tes Beispiel geht übrigens so auch nicht, denn diese Folge ist uneigentlich konvergent.

Erstmal zum 1sten Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n := n(1+(-1)^n) \end{eqnarray*}$ erfüllt schon fast alles.

0 ist einziger Häufungspunkt und die Folge ist nicht konvergent. Aber der Häufungspunkt tritt als Folgenglied auf. Wie kann man das noch schnell beheben?

10.02.2012, 23:37

Kimi_R

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RE: Beispiele für Folgen

Zitat:

Original von Matzemathiker
Danke!

Zu einer Folge mit genau ein Häufungspunkten (sei kein Folgnglied), NICHT konvergent fällt mir kein Beispiel ein, habt ihr vielleicht eine Idee ?

Machs dir nicht zu schwer. Du kannst auch einfach wie folgt an die Sache rangehen
$\begin{eqnarray*} a_{2n}:= \ldots, a_{2n+1}:=\ldots \end{eqnarray*}$ d.h. du definierst separat, "was die geraden beziehungsweise ungeraden Folgenglieder machen"

Zitat:

Original von Matzemathiker
Gibt es also dementsprechend auch keine konvergente Folgen , die keinen HP haben !?

Jede Folge hat sich selber als Teilfolge. Daher hat jede konvergente Folge einen HP

11.02.2012, 00:00

Matzemathiker

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Zitat:

Original von tmo

Erstmal zum 1sten Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n := n(1+(-1)^n) \end{eqnarray*}$ erfüllt schon fast alles.

0 ist einziger Häufungspunkt und die Folge ist nicht konvergent. Aber der Häufungspunkt tritt als Folgenglied auf. Wie kann man das noch schnell beheben?

mir fällt es nicht ein unglücklich

Vielleicht was ganz anderes : $\begin{eqnarray*} a_n := 1 \end{eqnarray*}$ , wenn n gerade und $\begin{eqnarray*} a_n := n (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ , wenn n ungerade

11.02.2012, 00:09

tmo

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Wenn du eine Folge angeben sollst, die den Grenzwert 0 hat, so würdest du im ersten Moment vielleicht auf $\begin{eqnarray*} a_n := 0 \end{eqnarray*}$ kommen.

Jetzt wird aber von dir noch verlangt, dass der Grenzwert nicht als Folgenglied vorkommt. Was nimmst du dann?

11.02.2012, 00:14

Matzemathiker

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hierauf würde ich z.B. $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nennen

11.02.2012, 00:18

tmo

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Und jetzt immer noch keine Idee?

Wenn nein, dann spielen wir dasselbe Spiel mit dem Grenzwert 5.

$\begin{eqnarray*} a_n := 5 \end{eqnarray*}$ wäre eine Möglichkeit, aber wenn der Grenzwert nicht als Folgenglied vorkommen soll, so nehmen wir...

Und jetzt wende das halt auf unser Beispiel hier an.

11.02.2012, 00:26

Matzemathiker

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$\begin{eqnarray*} a_n := 5 +\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a_n := n(1+(-1)^n) +\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ Forum Kloppe

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