Vektorrechnung---Ebene und Gerade

11.02.2012, 13:21

Alonushka

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Vektorrechnung---Ebene und Gerade

Hallo =)
Ich habe Schwierigkeiten mit einer Aufgabe...ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann...

Die Gerade g: $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist parallel zur Ebene e: $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 =5 \end{eqnarray*}$ .
a)Bestimmen Sie die Ebene e', die orthogonal zu e ist und g enthällt.
b) Bestimmen Sie die beiden Ebenen [latex]e_1[latex] und [latex]e_2[latex], welche e unter einem Winkel von 45° schneiden und g enthalten.

Meine Ideen: ich habe sehr lange gerätzelt, aber ich bekomme es einfach nicht hin...mir fehlt der richtige Einsatz..helft mir bite ...

11.02.2012, 15:16

Alonushka

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RE: Vektorrechnung---Ebene ueradend G
kann mir niemand helfen ???

die Frage im ersten Aufgabenteil lautet:
ich muss eine Ebene e' erstellen, die g: $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ enthält und zu Ebene e: $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 =5 \end{eqnarray*}$ orthogonal ist.

11.02.2012, 15:34

Bjoern1982

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zu a) Die Ebene kann man direkt in Parameterform PF angeben, bilde also eine solche PF, welche die Gleichung für g enthält und die zudem die Orthogonalität zu e berücksichtigt (Normalenvektor).

zu b) Hier sind die beiden winkelhalbierenden Ebenen zu e und e' gesucht, dafür gibt es z.B. ein Formel.

11.02.2012, 15:56

Alonushka

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zu a) sind etwa der Richtungsvector der Gerade und der Normalenvector der Ebene e die Richtungsvektoren von e' ?

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist das die Lösung ?

11.02.2012, 16:08

Bjoern1982

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Aufgabe a) ist korrekt gelöst.

11.02.2012, 16:27

Alonushka

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ich verstehe das mit den Winkelhalbierenden noch nicht so ganz ...
ich kenne nur die Formel $\begin{eqnarray*} cos (\alpha) = \lvert \frac {\vec n_1 \cdot \vec n_2} {\lvert \vec n_1 \rvert \cdot \lvert \vec n_2 \rvert}\rvert \end{eqnarray*}$

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11.02.2012, 17:28

Bjoern1982

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Ich hatte mich noch verguckt, denn die Ebene e enthält noch nicht die Gerade g, was aber durch abändern der rechten Seite von e leicht zu korrigieren ist (Parallelverschiebung der Ebene).
Wie man winkelhalbierende Ebenen aufstellt ist z.B. hier auch an einem Beispiel erklärt:

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vekto...halbierende.pdf

Wie es mit deiner Winkelformel funktioniert fällt mie leider gerade nicht ein (weil man damit noch zu viele Unbekannte drin hat).

11.02.2012, 18:02

Alonushka

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es tut mir Leid, aber ich verstehe es nicht.. unglücklich

unglücklich

12.02.2012, 11:18

Bjoern1982

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In Ordnung, hier nochmal eine Alternative:

Gesucht ist also ein passender Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der folgendes erfüllen muss:

$\begin{eqnarray*} cos(45°)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

Zudem liefert die Voraussetzung, dass g in der gesuchten Ebene liegen soll, noch eine weitere Bedingung, denn was muss dann für den Richtungsvektor von g und den gesuchten Normalenvektor gelten wenn g in e1 bzw e2 liegen soll ?

12.02.2012, 11:39

Alonushka

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Richtungsvektor von g muss senkrecht zum Normalenvektor der gesuchten Ebene stehen...d.h ihr Skalarprodukt muss o sein....oder ist das nicht der richtige Ansatz ?

ich vertehe noch nicht,wocher dieser Bruch inder Formel kommt...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 12:50

Bjoern1982

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Zitat:

d.h ihr Skalarprodukt muss o sein

Genau, damit gibt es dann noch eine Gleichung, die dir dann eine sehr wertvolle Information liefert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dieses 1/wurzel(2) ist einfach nur der exakte Wert für cos(45°).

12.02.2012, 13:03

Alonushka

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ok..
ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} n_3=0 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 13:11

Bjoern1982

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Richtig, das setze nun mal in die obige "Winkelgleichung" ein und versuche mal die Gleichung nach n1 oder n2 aufzulösen.
Du wirst sehen, da wird einiges wegfallen...

12.02.2012, 13:24

Alonushka

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{n_1+ n_2 }{\sqrt{n_1²+n_2²} \cdot \sqrt {2}} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 13:25

Bjoern1982

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Genau und dann immer weiter machen.

12.02.2012, 13:28

Alonushka

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dann habe ich doch irgendwann 0=0 verwirrt

verwirrt

12.02.2012, 13:31

Bjoern1982

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Wurzel aus (a+b) ist nicht Wurzel aus a plus Wurzel aus b.

12.02.2012, 13:43

Alonushka

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{n_1²+n_2²}= n_1+ n_2 \end{eqnarray*}$
dann habe ich " hoch 2 " gemacht, um die Wurzel zu beseitigen
$\begin{eqnarray*} n_1²+n_2²= (n_1+ n_2)² \end{eqnarray*}$
ist das richtig ?

12.02.2012, 13:44

Bjoern1982

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Ja, so stimmt das.

12.02.2012, 13:46

Alonushka

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$\begin{eqnarray*} 2n_1n_2=0 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 13:57

Bjoern1982

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Und was kann man aus dieser Gleichung folgern ?
Denke auch daran, dass ein Normalenvektor nicht der Nullvektor sein darf.

13.02.2012, 12:24

Alonushka

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ich weiß es nicht...aber wenn ich entweder nach $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ oder nach $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ umstelle, dann ist der Normallenvektor Null....aber das kann nicht sein...
und ich weiß nicht, wie ich es vermeinden soll =(

13.02.2012, 13:02

riwe

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Zitat:

Original von Alonushka
ich weiß es nicht...aber wenn ich entweder nach $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ oder nach $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ umstelle, dann ist der Normallenvektor Null....aber das kann nicht sein...
und ich weiß nicht, wie ich es vermeinden soll =(

daraus kannst/sollst du folgern, dass ENTWEDER $\begin{eqnarray*} n_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ODER ....

13.02.2012, 15:35

Alonushka

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entweder $\begin{eqnarray*} n_1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n_2=0 \end{eqnarray*}$ aber wenn ich das habe,dann ist der Normalenvektor = Nullvektor, weil $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ ist auch gleich Null...---das darf doch aber nicht sein.... verwirrt

verwirrt

oder kann ich da eine Koordinate einfach frei wählen ?

13.02.2012, 15:40

riwe

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Zitat:

Original von Alonushka
entweder $\begin{eqnarray*} n_1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n_2=0 \end{eqnarray*}$ aber wenn ich das habe,dann ist der Normalenvektor = Nullvektor, weil $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ ist auch gleich Null...---das darf doch aber nicht sein.... verwirrt

verwirrt

oder kann ich da eine Koordinate einfach frei wählen ?

ganz und gar nicht.
a) n1=0 UND n2 <> 0 (n3 = 0)

usw.

edit: ja, die 2. koordinate kannst du frei <> 0 wählen

13.02.2012, 15:53

Alonushka

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also kann ich einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} n_2=1 \end{eqnarray*}$ oder gibt es da bestimmte Vorschriften...die Begründung ist mir unklar.......

13.02.2012, 16:00

riwe

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du kannst n2 = 1 setzen,
begründung: jeder andere geeignete normalenvektor ist ein vielfaches von n =(0/1/0).

wenn du noch in
$\begin{eqnarray*} n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d \end{eqnarray*}$ das d bestimmst, wird es offensichtlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2012, 18:54

Alonushka

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RE: Vektorrechnung---Ebene und Gerade

Zitat:

Original von Alonushka

b) Bestimmen Sie die beiden Ebenen $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ , welche e unter einem Winkel von 45° schneiden und g enthalten.

dieser Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ..ist der jetzt der Normalvektor von den gesuchten Ebenen ?

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