Cosinus-Ableitung Beweis

11.02.2012, 20:09

Lk-Mathe

Cosinus-Ableitung Beweis

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich muss beweisen, dass cos(x) = -sin(x) ist.

Habe schon etwas herumgestöbert und etwas gefunden, aber verstehe es nicht so wirklich.

Also jemand hat geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Das ist ja klar. Aber ab hier verstehe ich es nicht mehr:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)*\cos(h)-\sin(x)*\sin(h)-\cos(x) }{h} \end{eqnarray*}$

Wie taucht da plötzlich sinus auf?

$\begin{eqnarray*} \cos(x)*\cos(h)-\cos(x) \end{eqnarray*}$ würde ich ja noch verstehen, aber gibt es irgendeine Regel, dass plötzlich sinus auftauchen kann?

Und dann in der nächsten Zeile steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)*\cos(h-1)}{h}-\frac{\sin(x)*\sin(h)}{h} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man hier auf
cos(h-1) ?

Danach kommt als Ergebnis ja
0-sinx*1 = -sin(x)

Aber die zwei Sachen oben verstehe ich irgendwie nicht..
Wäre echt dankbar für jede Hilfe smile

Lg

Meine Ideen:

11.02.2012, 20:13

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Mal die Additionstheoreme anschauen.

11.02.2012, 20:20

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
da steht das drin, aber gibt es irgendeinen Grund dafür, dass da sinus auch auftaucht?

11.02.2012, 20:26

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Habe ich doch geschrieben, die Anwendung der Additionstheoreme.

Das sind Identitäten, die für Sinus und Kosinus gelten.

Beweise dazu sind auch im Internet zu finden:

klick bringt dich auf folgende Seiten (unter anderem):

Klick 1, Eine Herleitung und auf viele andere Seiten mehr.

11.02.2012, 20:26

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
also wir hatten diese Additionstheoreme noch nicht..

gibt es vielleicht auch eine andere Methode, wie man cos(x)=-sin(x) beweisen kann?

11.02.2012, 20:30

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Ich hoffe doch du meinst $\begin{eqnarray*} (\cos(x))'=-\sin(x) \end{eqnarray*}$ .....

Jap, die gibt es, ist aber analog zum Beweis des verwendeten Additionstheorems (Eulersche Formel). Eine andere Möglcihkeit fällt mir nicht ein.

11.02.2012, 20:31

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
ja natürlich meinte ich das Big Laugh

hm schade, dann werde ich wohl das mit den additionstheoremen versuchen müssen..

11.02.2012, 20:35

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Vielleicht meldet sich ja noch jemand und bringt eine brauchbare Idee mit, wie gesagt, mir fällt spontan nicht ein, welche Alternative es gäbe, das bedeutet aber nicht, dass es keine gibt.

Vielleicht auch noch mal im Internet schauen oder Literatur wälzen.

11.02.2012, 20:48

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
achso ich hatte noch etwas gefunden

$\begin{eqnarray*} cos(x)= \sqrt{1-\sin^{2}(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (cos x)' = \frac{-2*cos(x)*sin(x)}{2*\sqrt{1-\sin^{2}(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (cos x)' = \frac{-cos(x)*sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \sin(x) \end{eqnarray*}$

Hier verstehe ich nur nicht, wie man auf $\begin{eqnarray*} -2*cos(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$
also auf sinus(x)

Das ist ja alles mit der Kettenregel.. Aber ich komme immer nur auf

$\begin{eqnarray*} (cos x)' = \frac{-2*cos(x)}{2*\sqrt{1-\sin^{2}(x)}} \end{eqnarray*}$

11.02.2012, 20:56

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis

Zitat:

Original von Lk-Mathe
Hier verstehe ich nur nicht, wie man auf $\begin{eqnarray*} -2*cos(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$
also auf sinus(x)

Kettenregel....

Zitat:

Original von Lk-Mathe
$\begin{eqnarray*} (cos x)' = \frac{-2*cos(x)}{2*\sqrt{1-\sin^{2}(x)}} \end{eqnarray*}$

Und wie kommst du darauf?

11.02.2012, 20:57

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
wie denn einsetzen?

ich wandele ja die wurzel im nenner zu cos(x) um
aber ich kriegs nicht hin, dass sin(x) im Zähler auftaucht..

Wenn ich für cos die Wurzelaussage einsetze, müsste ja cos verschwinden, und das passiert ja nicht.

11.02.2012, 20:59

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Zuerst einmal Kettenregel loslassen auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ .

Dazu musst du die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ wieder mit der Kettenregel bestimmen.

Wie lautet diese?

Desweiteren musst du vorraussetzen, dass die Ableitung vom Sinus bereits bekannt ist.

11.02.2012, 21:03

Trak92

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Zitat:

Jap, die gibt es, ist aber analog zum Beweis des verwendeten Additionstheorems (Eulersche Formel). Eine andere Möglcihkeit fällt mir nicht ein

Also ich schätze, mit der Eulerschen Formel meinst du die Darstellung von sinx und cosx mithilfe von Exponentialfunktionen. Das geht natürlich. Eine andere Möglichkeit ist die Potenzreihendarstellung direkt abzuleiten, was meiner Meinung nach am einfachsten ist...

11.02.2012, 21:05

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Also wenn ich die Kettenregel anwende, dann habe ich das so gemacht:

äußere Funktion: $\begin{eqnarray*} u(z) = \sqrt{z} = x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(z)= \frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2*x^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

innere Funktion: $\begin{eqnarray*} v(x) = 1-\sin^{2}(x) = -2\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(z) * v'(x) = \frac{1}{2*x^{\frac{1}{2}}} * -2\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-2*\cos(x)}{2*\sqrt{1-\sin^{2}(x)}} \end{eqnarray*}$

und da steht ja dann eigentlich:

-2*cos(x) / 2*cos(x)

11.02.2012, 21:11

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Ich habe dir doch bereits geschrieben, dass die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel geschehen muss.

Es ist $\begin{eqnarray*} y(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Wir betrachten nun $\begin{eqnarray*} f(y(x))=(\sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ .

Ableiten: $\begin{eqnarray*} (f(y(x)))'=f'(y(x)) \cdot y'(x)=2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir die "innere Ableitung" (noch das negative Vorzeichen beachten).

Der Rest funktioniert analog.

@Trak:

Stimmt, Potenzreihenentwicklung ist eine wirklich gute Idee, warum ich da nicht drauf gekommen bin, dazu muss man nur den Konvergenzradius beachten (und der ist....).
Dann kann man die Potenzreihe gliedweise differenzieren. Freude

sehr gut

11.02.2012, 21:16

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
ich kome gerade irgendwie durcheinander...

muss ich also das, was ich davor hatte nochmal neu machen, in dem ich beachte erstmal, dass unter der Wurzel

1-sin(x)*cos(x) steht?

11.02.2012, 21:23

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Okay, ich verstehe gar nicht was du meinst.....

Ableitungen mit der Kettenregel zu bestimmen sollte doch bekannt sein, oder nicht?

jetzt gehen wir mal von innen nach außen, wir setzen:

$\begin{eqnarray*} y(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(y(x))=y(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z(y(x)))=\sqrt{1-z(y(x))} \end{eqnarray*}$ .

Nun mit der Kettenregel ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{df(z(y(x)))}{dx}=f'(z(y(x))) \cdot (z(y(x)))'=f'(z(y(x))) \cdot z'(y(x)) \cdot y'(x) \end{eqnarray*}$

11.02.2012, 21:32

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
okay, ich versuchs mal

ist f(...) also die äußerste Funktion = Wurzel(1-x) ? also bleibt die 1 noch, oder?

11.02.2012, 21:36

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Wieso denn auf einmal x? verwirrt

Und was meinst du mit "die 1 bleibt"?

Versuch doch einfach mal abzuleiten, Kettenregel einfach wie gewohnt.

Und wie gesagt, den Tip von Trak kann man wikrlich empfehelen, dann hat man ein Polynom, das einfach abzuleiten ist.

11.02.2012, 21:43

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
mit x meinte ich nur z(y(x))
und das mit der 1 ist mir auch schon klar ^^

Wenn ich jetzt y(x)=-sin(x)
ableite, erhalte ich

-cos(x)

wenn ich z(y(x)) ableite, erhalte ich
2x
x= -sin(x)
also 2 * -sin(x)

oder?

und dann bleibt noch Wurzel(1-m) --> 1/2 * (1-m) ^1/2 für m setze ich dann

2*-sin(x)*-cos(x) ein

da steht dann also am Ende

1*2*-sin(x)*-cos(x) / 2*Wurzel(1-sin^1/2)

richtig so?

11.02.2012, 21:47

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Ich habe einen Fehler gemacht, es ist $\begin{eqnarray*} y(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(y(x))=-y(x)^2 \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten würde das Quadrat positiv werden und das ist es nicht.

Dadurch ergibt sich bei y' ein positives Vorzeichen und wir ahben nach kürzen das gewünschte.

11.02.2012, 21:48

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
ok aber ansonsten richtig?

11.02.2012, 21:54

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Jap, durch einsetzen von $\begin{eqnarray*} \cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ kürzt sich cos heraus, die 2 kann man auch kürzen und es bleibt -sin(x).

Aber noch einmal: Dazu muss man vorraussetzen, dass die Ableitung des Sinus bekannt ist.

Edit: Hast du dir auch schon mal über die Ableitung der Potenzreihe gedanken gemacht? die Idee ist namlich wirklich gut.....

11.02.2012, 21:57

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
was genau ist damit gemeint? also mit der ableitung der Potenzreihe?

11.02.2012, 22:03

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Man kann den Sinus in eine Potenzreihe entwickeln, es ist:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{7!}... \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \cos(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.... \end{eqnarray*}$ .

Man kann nun jedes Glied des cos ableiten und erhält -sin.

11.02.2012, 22:46

Lk-Mathe

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
ich schaue es mir morgen nochmal an ^^

danke für deine Hilfe und für deine Geduld Big Laugh

26.07.2015, 14:15

Drölfzehn

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
Ich bezweifle stark, dass man das machen kann (außer man kann DIESE Potenzreihe noch anders als über Taylor herzaubern, davon weiß ich bisher allerdings noch nichts...).

In dieser Potenzreihe stecken ja bereits die Ableitungen mit drin, da diese Reihe das Taylor-Polynom unendlichen Grades in einem Punkt ist. Die Ableitungen muss man hierfür halt erstmal wissen, im besten Fall kann man (durch geschickte Wahl des Entwicklungspuntkes) die erste Ableitung bestimmen, danach ist aber eigentlich Schluss, weil einem ja gerade die Beziehung von den Ableitungen fehlen, und man somit die zweiten/ dritten/ ... Ableitungen nicht bestimmen kann und einem somit die Reihendarstellung gar nicht bekannt sein dürfte (Die Reihendarstellung basiert auf der Erkenntnis, was die Ableitung von Sinus/ Cosinus sind).

Aus der Sicht der Logik würde man bei den Potenzreihen, dann die zu zeigende Aussage bereits als Vorraussetzung verwenden, dass dies wenig sinnvoll ist zeigt das folgende Beispiel:

Unter der Vorraussetzung/ Annahme, dass Äpfel und Birnen das Gleiche sind, kann man (logischerweise) zeigen, dass Äpfel und Birnen das gleiche sind (auch wenn sie dies (natürlicherweise/ in der Realität) nicht sind).

04.10.2015, 12:02

lgrizu

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RE: Cosinus-Ableitung Beweis
@ Drölfzehn

Man kann den Sinus und den Cosinus auch über ihre Potenzreihen definieren, was im übrigen auch nicht unüblich ist.
Des weiteren bekomme ich die Potenzreihe von Sinus und Cosinus durch die Potenzreihenentwicklung
der e-Funktion hin und den Zusammenhang von exp(ix)=cos(x)+i sin(x). Dazu muss ich nur die Ableitung der e-Funktion kennen um die Taylorreihe zu entwickeln.

Man barucht also nicht zwangsläufig bereits die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen kennen, sondern lediglich die Ableitung der e-Funktion. Und selbst das ist nicht nötig, wenn die e-Funktion (oder die Zahl e) über ihre Potenzreihe definiert wird.

Dein Äpfel-Birnen Verhältnis ist sehr einseitig und lässt ausschließlcih die Taylorreihenentwicklung zu, ohne andere innere Zusammenhänge zu betrachten.

Ich weiß, der Thread ist schon älter, ich denke aber man kann den letzten Post nicht einfach so stehen lassen für Leute die hier nach Lösungen suchen und einfach ein bisschen "stöbern".

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