Lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten

11.02.2012, 23:34

Tomatensalat

Lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten

Hallo,

ich habe gerade folgende Aufgabe vor mir:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1+a & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für welche $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat das LGS genau eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen?

Ich habe nun die erste Zeile der Matrix zur zweiten addiert und die zweite Zeile zur dritten addiert, und dann hat man dies:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Ich weiß nicht, wie man das so mit Latex schreibt, dass alles "in einem" steht.)

Wie mach ich da jetzt weiter? Nach was genau muss ich das eigentlich umstellen: nach x oder nach a?

Würde mich freuen, wenn mir da einer weiterhelfen könnte!

11.02.2012, 23:43

tychiades

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Hallo!

Am elegantesten und einfachsten könntest du diese Aufgabe über die Determinante lösen. Weißt du bereits, was das ist? Wenn ja, dann rechne doch mal die Determinante der Matrix aus und prüfe, welche Werte sie in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ annimmt.

Ciao,
tychiades

12.02.2012, 00:31

Tomatensalat

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Hi,

Determinanten kenne ich, ja. Wenn ich probiere, die Determinanten der Matrix auszurechnen, erhalte ich mit Anwendung der Regel von Sarrus diesen Term hier:

$\begin{eqnarray*} -\lambda³ + \lambda² + \lambda - a² + 2 \end{eqnarray*}$

Wie lese ich daraus jetzt irgendwelche Werte ab? Wenn ich das jetzt gleich Null setze, also

$\begin{eqnarray*} -\lambda³ + \lambda² + \lambda - a² + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

und das umforme in

$\begin{eqnarray*} -\lambda³ + \lambda² + \lambda = a² - 2 \end{eqnarray*}$

dann kann ich doch da jetzt nichts drauß schließen, oder seh ich das falsch?

12.02.2012, 00:52

Dopap

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woher kommt das \lambda ?

und ob die Determinante das geeignete Mittel ist, möcht ich noch bezweifeln.

Bring doch das LGS vollends auf Stufenform:

$\begin{eqnarray*} L_2 = L_2\cdot a-L_3 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 00:58

Tomatensalat

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Das Lambda kommt aus der Berechnung der Determinante bzw. das ist ja jetzt oben die charakteristische Gleichung?!

Man rechnet doch $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda * E) \end{eqnarray*}$ und dann stehen eben nach Anwendung der Regel von Sarrus die ganzen Lambdas noch in der Gleichung. Oder nicht?!

Das mit der Stufenform habe ich ja probiert (siehe erster Post), aber nach

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

komme ich nicht weiter..

12.02.2012, 01:17

Dopap

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du suchst doch keine Eigenwerte einer Matrix, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}\cdot \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_3= L_3- aL_2 \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1-a^2 \end{pmatrix}\cdot \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+a \\ 2-a-a^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die letzte Zeile lautet nun

$\begin{eqnarray*} (a^2-1)x_3= a^2+a-2 \end{eqnarray*}$

und daran kann man die Fragen beantworten.

12.02.2012, 01:53

Tomatensalat

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Sorry dass ich da jetzt noch so dumm fragen muss, aber wie lese ich an der Gleichung jetzt was ab?

Wenn jetzt auf der einen Seite der Gleichung 0 stehen würde, dann könnte ich das ja nachvollziehen, aber so?

Das Einzige, was ich da jetzt ablesen kann, ist, dass für a=1 und a=-1 die Gleichung 0 wird.

12.02.2012, 02:54

Dopap

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$\begin{eqnarray*} (a^2-1)x_3= a^2+a-2 \end{eqnarray*}$

1.) wenn $\begin{eqnarray*} (a^2-1) = 0 \quad \rm und\quad a^2+a-2 \neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ das System ist unlösbar

2.) wenn $\begin{eqnarray*} (a^2-1) = 0 \quad \rm und \quad a^2+a-2 = 0 \Rightarrow ?? \end{eqnarray*}$

3.) wenn $\begin{eqnarray*} (a^2-1) \neq 0 \Rightarrow ?? \end{eqnarray*}$

war das in der Schule überhaupt nicht dran?

12.02.2012, 20:36

Tomatensalat

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Lustigerweise war ich sogar im Mathe-LK, aber Studieren macht eher doof wie ich mittlerweile feststelle..
heißt also:

Für 1) gibt es keine Lösung, bei 2) eine Lösung und bei 3) unendlich viele..

Danke! smile

12.02.2012, 20:54

Dopap

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Zitat:

Original von Tomatensalat

... bei 2) eine Lösung und bei 3) unendlich viele..

Umgekehrt!

da ist aber vom LK-Kurs einiges verloren gegangen verwirrt

Trotzdem viel Erfolg!

12.02.2012, 23:40

Dopap

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da die Aufgabe exemplarisch ist, möchte ich noch beenden:

a.) $\begin{eqnarray*} a=1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ das LGS hat unendlich viele Lösungen:

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad , ~\mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} a=-1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ das LGS ist unlösbar.

c.) Sonst: das LGS hat eine Lösung: $\begin{eqnarray*} \vec x =\frac {1}{a^2-1}\begin{pmatrix} 1-a^3\\ a-1 \\ a^2+a-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.02.2012, 01:26

giu

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Im Folgenden noch die Zwischenschritte mit Angabe der Lösung als Lösungsmenge.

Ich gehe von folgender Matrix aus, die Dopap in seiner vorherigen Antwort bereits berechnet hat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1-a^2 \end{pmatrix}\cdot \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+a \\ 2-a-a^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiter gilt $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ mein freier Parameter wird. Ich wähle also $\begin{eqnarray*} x_3 = \mu \end{eqnarray*}$

Setze ich nun $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in die zweite Zeile der Matrix ein, so erhalte ich folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x_2 + \mu = 2 \implies x_2 = 2 - \mu \end{eqnarray*}$

Setze ich jetzt $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in die erste Zeile der Matrix ein, so erhalte ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} x_1 + 2 \cdot(2 - \mu) + \mu = 1 \implies x_1 = \mu - 3 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nun, dass $\begin{eqnarray*} L = \{\begin{pmatrix}\mu - 3\\2 - \mu\\ \mu\end{pmatrix}\ |\ \mu \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ oder auch anders geschrieben $\begin{eqnarray*} L = \{\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\ |\ \mu \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem ist.

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