Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen

12.02.2012, 12:42

jay260890

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Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen

kann mir jemand bei der lösung dieser aufgabe helfen?

Gegeben sind vier unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen
R1~N(5.8 ), R2~N(0.5), R3~N(9.21) und R4~N(6.6)
Die Zufalssvariable X setzt sich wie folgt zusammen:
X=3*R1+7*R2+8*R3+9*R4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von P(96.98<X<190.58 )

ich habe leider keine ahnung wie ich hier ansetzten soll, um die gefrage wahrscheinlichkeit auszurechnen.

12.02.2012, 12:53

Gast11022013

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
Hallo, überlege Dir zunächst, wie die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verteilt ist.

Dazu kannst Du Dir mal den Wikipedia-Artikel zur Normalverteilung durchlesen, da steht, wie es mit der Faltung von normalverteilten ZV aussieht.

Wenn Du das weißt, kannst Du Dir mal überlegen, wie man

$\begin{eqnarray*} P(96,98<X<190,58) \end{eqnarray*}$ noch anders schreiben kann bzw. im Hinterkopf haben, daß es sich bei der Normalverteilung um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

12.02.2012, 13:53

jay260890

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
$\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

hmm, ich schätze diese zeile könnte mich dem ganzen näher bringen.
damit führe ich das ganze ja auf eine N(0,1) zurück. könnte mir das weiterhelfen?

nur was du meinst, mit anders schreiben, weiß ich leider nicht.

12.02.2012, 14:00

Gast11022013

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
Ja, wenn Du die Verteilung von X dann kennst, kannst Du sie auf eine Standardnormalverteilung zurückführen.

Mit Umschreiben meine ich sowas wie

$\begin{eqnarray*} P(a<X<b)=P(X\leq b)-P(X\leq a) \end{eqnarray*}$ , wobei das kleiner/ gleich gilt, weil es eine stetige W.keitsverteilung ist.

12.02.2012, 14:06

jay260890

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
ah, okay jetzt wird mir einiges klar.

ist die aufgabe dann so zu lösen, dass ich zuerst die 190.58 samt $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ hier --> $\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ einsetze und dann hier --> X=3*R1+7*R2+8*R3+9*R4 einsetze, analog mit 96.98 und dann abziehen?

12.02.2012, 14:08

Gast11022013

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
Du kennst doch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ von X erstmal noch gar nicht.

Dafür musst Du doch erst ermitteln, wie X verteilt ist.

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12.02.2012, 14:12

jay260890

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen

Zitat:

Du kennst doch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ von X erstmal noch gar nicht. Dafür musst Du doch erst ermitteln, wie X verteilt ist.

wie finde ich das heraus?

12.02.2012, 14:18

Gast11022013

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Indem Du Dir überlegst, wie X verteilt ist.

Sind zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X_1\sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2), X_2\sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ , wie wäre dann $\begin{eqnarray*} X=X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ verteilt?

Sowas musst Du Dir hier überlegen.

12.02.2012, 14:31

jay260890

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Zitat:

Sind zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X_1\sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2), X_2\sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ , wie wäre dann $\begin{eqnarray*} X=X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ verteilt?

hier setzt mein mathematisches verständnis aus. da bräuchte ich noch die ein oder andere hilfestellung. verwirrt

verwirrt

12.02.2012, 14:32

Gast11022013

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Deswegen habe ich ja den Hinweis gegeben, den Wikipedia-Artikel durchzulesen, denn da ist das erklärt (Faltung).

12.02.2012, 14:56

jay260890

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Zitat:

Deswegen habe ich ja den Hinweis gegeben, den Wikipedia-Artikel durchzulesen, denn da ist das erklärt (Faltung).

sorry, hab das mit der faltung überlesen, weil ich dachte $\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ bringt mich schon zum ziel.

also ich gehe mal davon aus, du beziehst dich explizit auf diese stelle:

Zitat:

Sind also X,Y zwei unabhängige Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2) \end{eqnarray*}$ , so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt: $\begin{eqnarray*} X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2) \end{eqnarray*}$ .

das würde für mich bedeuten, dass X=3*R1+7*R2+8*R3+9*R4 $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(20,40) \end{eqnarray*}$ verteilt ist.

12.02.2012, 15:05

Gast11022013

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Nein, das kann nicht stimmen,weil Du die Faktoren ja gar nicht berücksichtigt hast.

Wie sind denn

$\begin{eqnarray*} 3R_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7R_2 \end{eqnarray*}$ usw. verteilt?

Stichwort: lineare Transformation von normalverteilten ZV

12.02.2012, 15:14

jay260890

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ja R1 ist N(5.8 ), R2 ist N(0.5)... verteilt verwirrt

verwirrt

Zitat:

lineare Transformation von normalverteilten ZV

noch nie gehört und auch kein erklärender treffer in google...

12.02.2012, 15:16

Gast11022013

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Siehe zum Beispiel hier:

http://www.hans-markus.de/finance/119/ha...rmalverteilung/

12.02.2012, 15:27

jay260890

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http://www.hans-markus.de/finance/119/hauptstudium_eins/normalverteilung/bilder/normalverteilung/4.png

bringt mich das in dem fall weiter?

12.02.2012, 15:30

Gast11022013

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Genau.

Aber ich will Dich jetzt auch nicht unnötig auf die Folter spannen.

Die Transformation besteht hier einfach darin, daß man mit Faktoren multipliziert.

Ist also $\begin{eqnarray*} R_1\sim\mathcal{N}(5,8) \end{eqnarray*}$ , so ist nach der "Formel", die Du gerade gepostet hast:

$\begin{eqnarray*} 3\cdot R_1\sim\mathcal{N}(15,72) \end{eqnarray*}$ .

Das berechnest Du jetzt auch für $\begin{eqnarray*} 7\cdot R_2 \end{eqnarray*}$ etc. und dann kannst Du endlich die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bestimmen, indem Du einfach die Erwartungswerte und Varianzen jeweils aufaddierst.

12.02.2012, 15:46

jay260890

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aaah okay. ich hab bei dem $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(20,40) \end{eqnarray*}$ schon alle aufaddiert, aber eben davor nich multipliziert mit den faktoren ;-)

wie kommst du bei $\begin{eqnarray*} R_1\sim\mathcal{N}(5,8) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 3\cdot R_1\sim\mathcal{N}(15,72) \end{eqnarray*}$ ? bei mir wären das dann $\begin{eqnarray*} {N}(15,24) \end{eqnarray*}$ , weil 3*5=15 und 3*8=24?

12.02.2012, 15:50

Gast11022013

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Dann hast Du die Formel nicht richtig gelesen. :-)

Die Erklärung dafür ist, daß man bei der Varianz den Faktor, den man rauszieht, immer quadrieren muss.

12.02.2012, 16:08

jay260890

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gelesen schon, aber wohl nicht kapiert^^

bin ich froh, wenn diese statistikklausur vorbei ist. ich hätte nie gedacht, dass man in internationale wirtschaftswissenschaften so viel mathe braucht. glücklicherweise hab ich das fach danach nie wieder...

also:

$\begin{eqnarray*} 3\cdot R_1\sim\mathcal{N}(15,72), 7\cdot R_2\sim\mathcal{N}(0,245), 8\cdot R_3\sim\mathcal{N}(72,1344), 9\cdot R_4\sim\mathcal{N}(54,486) \end{eqnarray*}$

dann komm ich zum schluss auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(141,2147) \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 16:19

Gast11022013

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Das habe ich auch heraus.

12.02.2012, 16:24

jay260890

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gut und jetzt? :-)

12.02.2012, 16:28

Gast11022013

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
Jetzt wie oben vorgeschlagen umformen (Punktwahrscheinlichkeiten sind egal, weil Null wegen der Stetigkeit) und dann hast Du:

$\begin{eqnarray*} P(96,98<X<190,58)=P(X\leq 190,58)-P(X\leq 96,98)=F_X(190,58)-F_X(96,98) \end{eqnarray*}$

Das kann man relativ einfach ausrechnen.

Wie die Verteilungsfkt. aussieht, weiß man ja. Ich würde in die Standardnormalverteilung standardisieren und dann in der Tabelle für die Standardnormalverteilung ablesen. Fertig.

12.02.2012, 16:29

Gast11022013

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
Die Tabelle findest Du eigentlich problemlos im Internet.

12.02.2012, 17:10

jay260890

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RE: Aufgabe zu normalverteilten Zufallsvariablen
die tabelle hab ich schon aufm rechner ;-) werds gleich mal durchrechnen. danke schonmal, ich hoffe jetzt bin ich nicht wieder zu doof, das auszurechnen ;-)

12.02.2012, 17:15

Gast11022013

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Rechne einfach mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2012, 20:51

jay260890

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mein letztes problem war jetzt noch, wo ich die 96,98 und 190,58 einsetzte. ich hab die beiden zahlen jetzt einfach für R1-R4 eingesetzt?!
zum schluss würde ich dann eine wslk von 0,1152 herausbekommen. hab ich alles richtig gemacht, oder falsch eingesetzt?

12.02.2012, 21:01

Gast11022013

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Zitat:

Original von jay260890
mein letztes problem war jetzt noch, wo ich die 96,98 und 190,58 einsetzte. ich hab die beiden zahlen jetzt einfach für R1-R4 eingesetzt

Das verstehe ich jetzt nicht

$\begin{eqnarray*} F_X(190,58)=\Phi\left(\frac{190,58-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ , da jetzt die ermittelten Werte für den Erwartungswert und die Varianz einsetzen..

Ebenso für den anderen Summanden.

12.02.2012, 21:32

jay260890

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also mein rechenweg:

$\begin{eqnarray*} F_X(190,58)=\Phi\left(\frac{190,58-141}{\sqrt{2147}}\right)= \Phi(1,07)\sim0.8438 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_X(96,98)=\Phi\left(\frac{96,98-141}{\sqrt{2147}}\right)= \Phi(-0,95)=0.8289 \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} 0.8438-0.8289=0,0149 \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt so?

13.02.2012, 07:00

Gast11022013

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Das stimmt leider so nicht.

Erstens lese ich aus der Tabelle ab:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1,07)=0,85769 \end{eqnarray*}$

Zweitens ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-0,95)=1-\Phi(0,95)=1-0,82894=0,17106 \end{eqnarray*}$ .

Sodaß man auf das Endergebnis von 0,68663 kommt.

13.02.2012, 11:18

jay260890

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1,07)=0,85769 \end{eqnarray*}$

immer diese leichtsinnsfehler :-S

Zitat:

Zweitens ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-0,95)=1-\Phi(0,95)=1-0,82894=0,17106 \end{eqnarray*}$ .

genau das hab ich mich auch gefragt, ob man da jetzt einfach 0,95 ablesen soll, oder eben 1-0,95.

das war ne schwere geburt, danke ;-)

13.02.2012, 12:10

Gast11022013

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Es können ja nicht alle Geburten leicht von der Hand gehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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