Injektive Abbildungen

13.02.2012, 11:45

Steffe2361

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Injektive Abbildungen

Hi,

Ich habe folgende Aufgabe:

[attach]23100[/attach]

Meine Ideen:

Da ich es mir mit "Kugeldiagrammen" aufgezeichnet habe, nehme ich an das diese Aussage wahr ist. Nun weiß ich nicht ganz wie ich an den Beweiß rangehen soll.

Also

Ich nehme an mein Vektorraum V hat { $\begin{eqnarray*} v_1 , v_2,.....v_n \end{eqnarray*}$ } linear unabhängige Vektoren.

Ebenfalls hat der Vektorraum W von { $\begin{eqnarray*} w_1, w_2,.......,w_m \end{eqnarray*}$ } linear unabhängige Vektoren.

Ich nehme nun die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i ={1,2,....n} \end{eqnarray*}$ (die Abbildung ist linear!)

Da ich nun die gesamte Basis des Vektoraums V auf W abbilde bleibt dieser linear Unabhängig und somit müsste W auch von {w_1,w_2,....,w_n} linear unabhängig sein. Also dimV = dim W
Auch wenn der Vektoraum W mehr linear unabhängige Vektoren besitzen würde, also dimV < dimW, so wäre die Abbildung immer noch injektiv.

Also ist meine Aussage wahr.

kann man das so lassen, bzw was sagt ihr dazu?

mfg

13.02.2012, 12:20

Mazze

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Zitat:

kann man das so lassen, bzw was sagt ihr dazu?

Das Ganze ist so noch nicht ganz sauber. Über $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wissen wir nur, dass es eine lineare Abbildung ist, daher kannst Du nicht einfach irgendeine lineare Abbildung f hernehmen und die Aussage damit beweisen.

Der Eigentliche Trick bei der Aufgabe ist : Injektive lineare Abbildungen bilden linear unabhängige Mengen auf linear unabhängige Mengen ab. Ich denke mal die Aussage hattet ihr bereits, wenn nicht ist sie im Zuge der Aufgabe zu Beweisen. Damit kannst Du dann aber deine Argumentation schon fast verwenden.

13.02.2012, 13:02

Steffe2361

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Ok, aber prinzipiel ist die Aussage ja richtig oder?

So injektiv heißt doch nichts anderes, dass $\begin{eqnarray*} \phi (v_1) = \phi (v_2) -> w_1 =w_2 \end{eqnarray*}$ (in meinem Beispiel)

Ok und die vektoren v_1 und v_2 kann ich doch durch meine Basis als Linearkombination ausdrücken.

$\begin{eqnarray*} v_1 = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +......+ \lambda_n v_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2 = \psi_1 v_1 +\psi_2 v_2 +......+ \psi_n v_n \end{eqnarray*}$

Nun zeige ich also:

$\begin{eqnarray*} \phi (v_1) = \phi (v_2) \end{eqnarray*}$

die Vektoren Einsetzen ergibt
$\begin{eqnarray*} \phi (\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +......+ \lambda_n v_n) = \phi (\psi_1 v_1 + \psi_2 v_2 +......+ \psi_n v_n) \end{eqnarray*}$

Oder mit der Summenformel geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \phi(\sum \lambda_i v_i) = \phi(\sum \psi_i v_i) \end{eqnarray*}$ für i = 1,2,3.....,n

nun hebe ich nach den Abbildungsregeln heraus

$\begin{eqnarray*} \sum \lambda_i \phi(v_i) = \sum \psi_i \phi(v_i) \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt verschiebe ich auf die linke Seite

$\begin{eqnarray*} \sum \lambda_i - \psi_i \phi(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} \lambda_i - \psi_i =0 \end{eqnarray*}$ für i= 1,2,3....n folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum \lambda_i - \psi_i \phi(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

0=0

oder

v=w

Hast du das so etwa gemeint?
mfg

13.02.2012, 13:08

Mazze

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Zitat:

So injektiv heißt doch nichts anderes, dass $\begin{eqnarray*} \phi (v_1) = \phi (v_2) -> w_1 =w_2 \end{eqnarray*}$ (in meinem Beispiel)

Nein, das ist falsch. Richtig ist :

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1) = \phi(v_2) \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ok und die vektoren v_1 und v_2 kann ich doch durch meine Basis als Linearkombination ausdrücken. $\begin{eqnarray*} v_1 = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +......+ \lambda_n v_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_1 = \psi_1 v_1 +\psi_2 v_2 +......+ \psi_n v_n \end{eqnarray*}$

Achte darauf welche Bezeichner du verwendest. Wenn Du deine Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ nennst, solltest Du bel. Vektoren nicht auch v_1 und v_2 nennen.

Zitat:

Nun zeige ich also: $\begin{eqnarray*} \phi (v_1) = \phi (v_2) \end{eqnarray*}$

Warum solltest Du das tun ?

Nochmal :

Aussage 1

Es sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare, injektive Abbildung. Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} M = \{v_1,...,v_n\} \subset V \end{eqnarray*}$ eine linear unabhängige Menge, dann ist auch

$\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$

linear Unabhängig.

Nun meine Frage : Hattet ihr die Aussage schon ? Wenn nicht musst Du sie beweisen, dass ist aber nicht schwer.

Mit Hilfe von Aussage 1 kannst Du jetzt den eigentlichen Beweis erbringen. Denn wenn Du eine Basis von V nimmst, dann ist diese Menge linear Unabhängig. Und mit Aussage 1 ist dann aber auch die Bildmenge der Basis linear Unabhängig, also muss was für die Dimensionen von V und W gelten?

13.02.2012, 13:22

Steffe2361

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Zitat:

Nun meine Frage : Hattet ihr die Aussage schon ?

Nein, hatten wir noch nicht.

Aber angenommen sie ist wahr. Dann nehme ich doch eine Basis von V mit n- Vektoren, also { v_1,v_2,....v_n}.

Ok nach Aussage 1, hat auch die Bildmenge zumindest n-linear Unabhängige Vektoren. Dies bilden natürlich auch in W eine Basis. Also zumindest dimV=dimW.

Dies gilt natürlich auch falls dimW größer als dimV wäre.

verwirrt

verwirrt

13.02.2012, 13:23

Mazze

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Zitat:

Dies bilden natürlich auch in W eine Basis.

Nein, das stimmt nicht. Wir wissen dann nur dass W mindestens die Dimension n hat, es könnten aber auch mehr sein. Und welches Relationszeichen drückt "mindestens n soviele, aber könnten auch mehr sein" genau aus ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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13.02.2012, 13:31

Steffe2361

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Mein Gott steh ich jetzt echt auf der Leitung oder meintest du einfach

$\begin{eqnarray*} dimV \le dimW \end{eqnarray*}$

also ein "kleiner gleich"

verwirrt

verwirrt

13.02.2012, 13:32

Mazze

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Ja genau! So, jetzt musst Du im Prinzip nur Aussage 1 beweisen und bist fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

13.02.2012, 14:04

Steffe2361

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Zitat:

Aussage 1
Es sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare, injektive Abbildung. Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} M = \{v_1,...,v_n\} \subset V \end{eqnarray*}$ eine linear unabhängige Menge, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig.

Nun gut

Ich weiß doch dass die Menge M linear unabhängig ist, also

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + .....+ \lambda_n v_n = 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_1....\lambda_n =0 \end{eqnarray*}$

ok und dies bilde ich nun ab

$\begin{eqnarray*} f(M) = f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + .....+ \lambda_n v_n) = f(\sum \lambda_i v_i) \end{eqnarray*}$ für i= 1,2,3...n

nun die Lambda herausgehoben

$\begin{eqnarray*} \sum \lambda_i f(v_i) \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich, dass $\begin{eqnarray*} \sum \lambda_i =0 \end{eqnarray*}$ da wir vorhin festgehlaten haben, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1....\lambda_n =0 \end{eqnarray*}$ .

Somit ist auch $\begin{eqnarray*} \sum \lambda_i f(v_i) =0 \end{eqnarray*}$ und linear unabhängig

mfg

13.02.2012, 14:10

Mazze

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Nach diesem Beweis würde die AUssage für jede lineare Abbildung gelten , wozu dann das injektiv ?

In etwa ist auch $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, wenn ich mir aber eine Basis von V nehme M = {v_1,...,v_n}, dann ist die Menge $\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ aber linear Abhängig.

Ohne die Injektivität ist die Aussage falsch. Du hast auch falsch rum argumentiert. Du weisst dass die Menge M linear Unabhängig ist, und willst zeigen, dass die Menge f(M) linear Unabhängig ist :

zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$

Sei also

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

dann ? Überlege Dir genau wo die injektivität eine Rolle spielt.

p.s.: Folgendes macht die Sache sehr leicht : Ist f eine lineare Abbildung so ist f genau dann injektiv wenn aus f(v) = 0 die Aussage v = 0 folgt. Oder anders gesprochen : Lineare Injektive Abbildungen bilden nur die 0 auf 0 ab.

13.02.2012, 14:29

Steffe2361

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Zitat:

Überlege Dir genau wo die injektivität eine Rolle spielt.

Ich schätze du meinst die Abbildung auf den Kern verwirrt

verwirrt

also wenn f injektiv wäre und v \in Kern(f), dann gilt f(v) = 0. Also v=0, wie du schon gesagt hast. Aber da auch $\begin{eqnarray*} f(v_1) = f(v_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \in V \end{eqnarray*}$

Deshalb:

$\begin{eqnarray*} 0 = f(v_1) - f(v_2) = f(v_1 -v_2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v_1 - v_2 =0 \end{eqnarray*}$ Darum muss v_1 =v_2 gelten.

wiederum bei unserer Abbildung würde doch folgen

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$

bin ich wieder am Holzweg? bzw danke für deine Bemühungen smile

smile

13.02.2012, 14:43

Mazze

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Also erstmal, die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} f(v_1) = f(v_2) \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$

musst Du nicht zeigen. Wir nehmen doch gerade an, dass f injektiv ist daher gilt dieses. Nun ist aber f sogar linear, das heißt aus f(v) = 0 folgt v = 0. So :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$

Wieso folgt das ? Wir wollen doch gerade beweisen dass f(v_i) linear Unabhängig ist, du schreibst es einfach nur hin. Wir müssen irgendwie benutzen, dass die v_i linear Unabhängig in V sind.

13.02.2012, 16:59

Steffe2361

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RE: Injektive Abbildungen
Ok nochmal von vorne

Also

zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

ich nehme 2 Vektoren aus meiner linear unabhängigen Menger heraus

$\begin{eqnarray*} k= \sum_{i}\lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j= \sum_{i}\psi_i v_i \end{eqnarray*}$

Dank der Injektivität folgt doch

k=j

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i v_i =\sum_{i}\psi_i v_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) =\sum_{i}\psi_i f(v_i) \end{eqnarray*}$

Nun verschiebe ich wieder nach links

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}(\lambda_i - \psi_i ) f(v_i) =0 \end{eqnarray*}$

da aber \lambda - \psi = 0, so ist auch \sum_{i}(\lambda_i - \psi_i )=0

Damit folgt doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

hmm verwirrt

verwirrt

was sagst du dazu?

14.02.2012, 17:56

Mazze

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Zitat:

Dank der Injektivität folgt doch k=j

Das ergibt keinen Sinn.

Zitat:

Damit folgt doch $\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ergibt noch viel weniger Sinn, wir nehmen doch an dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Wir wollen zeigen dass $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ für alle i ist.

Aber um dir zu helfen, da f linear ist gilt :

$\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = \sum_ {i=1}^nf(\lambda_i v_i) = f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) \end{eqnarray*}$

nutze jetzt die Injektivität von f und dann noch einen Schritt und der Beweis ist erbracht.

20.02.2012, 10:56

Steffe2361

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Sorry, habe übersehn, dass du mir schon eine Antwort gegeben hast.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i}\lambda_i f(v_i) = \sum_ {i=1}^nf(\lambda_i v_i) = f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) \end{eqnarray*}$

Diese Umformungen sind mir klar.

Jetzt gilt doch, wenn eine Abbildung Injektiv ist so muss der Kern nur den Nullvektor enthalten.

Also müsste doch
0 = $\begin{eqnarray*} f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) = f(0) \end{eqnarray*}$ unter Voraussetzung f injektiv.

Somit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$

Also linear unabhängig

Hast du das so gemeint? verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 11:01

Mulder

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Ja, weil die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, sind die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ also alle null. Folgerung?

20.02.2012, 11:21

Steffe2361

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Zitat:

Folgerung?

$\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig

smile

smile

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