Wegintegral entlang eines Kreises

13.02.2012, 15:13

Nené

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Wegintegral entlang eines Kreises

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich hab ein Problemchen mit der hochgeladenen Aufgabe, denn die Aufgabenstellung verwirrt mich :/
Ich habe ähnliche Aufgaben schon gerechnet , bei denen die Aufgabenstellung etwas anders war. Bisher hatte ich immer diese Aufgabenstellung:
"Bestimmen Sie das Wegintegral ... mit dem Vektorfeld ... entlang des Weges ... von t1=0 bis t2=1"

In dieser Aufgabe heißt es allerdings anstatt " entlang des Weges" " entlang des Kreises" und der Start und Endpunkt ist nicht einfach 0 und 1 sondern ein Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Und das verwirrt mich, denn ich krieg damit meine Formel zum Lösen nicht zusammen.

Meine Ideen:
Normalerweise starte ich mit
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \vec{F} (\vec{x} )\cdot \frac{\vec{x} (t)}{dt} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F} (\vec{x} ) \end{eqnarray*}$ Hier setzte ich mein Vektorfeld, was ich zu einem Vektor umgeformt habe, ein.
Und für $\begin{eqnarray*} \vec{x} (t) \end{eqnarray*}$ kommt dann der Vektor für den Weg rein. Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ -t^{2} \\ 2t^{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nur das ist ja hier nicht angegeben, sondern nur "Entlang des Kreises". Welcher Ausdruck ist das, den ich dann dort einsetzten muss?

13.02.2012, 15:33

Trak92

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Ist dir der Stokesche Integralsatz geläufig?

13.02.2012, 15:43

Trak92

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ich muss los, und komme heute Abend wieder, wenn dir bis dahin keiner geholfen hat kann ich das gerne machen...

13.02.2012, 15:49

Ehos

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Wenn ich deine Schreibweise richtig interpretiere, lautet das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec x)=\begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Kreis hat den Radius r=1 mit Zentrum im Nullpunkt (obwohl das nicht ausdrücklich da steht). Also ist die Parameterdarstellung des Kreises $\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Integriere nun ganz normal. Es ist völlig egal, wo der Anfangspunkt liegt.

13.02.2012, 19:57

Trak92

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Hast du es raus, oder brauchst du noch Hilfe?

14.02.2012, 13:51

Nene1992

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Aha okey, also fang ich an:
S=Startpunkt
E=Endpunkt

$\begin{eqnarray*} \int_S^E \! \vec{F} (\vec{x} )\frac{\vec{x} (t)}{dt} \, dx \end{eqnarray*}$

Eingesetzt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_S^E \! \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix} \cdot \frac{\begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} }{dt} \, dx \end{eqnarray*}$

Abgeleitet dann:

$\begin{eqnarray*} \int_S^E \! \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -sin(t) \\ cos(t) \end{pmatrix} \, dx \end{eqnarray*}$

Und zu guter letzt:

$\begin{eqnarray*} \int_S^E \! [xy\cdot (-sin(t))+y\cdot cos(t)] \, dx \end{eqnarray*}$

Und dann noch ein bisschen zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \int_S^E \! [y\cdot (x\cdot (-sin(t))+cos(t))] \, dx \end{eqnarray*}$

Start- und Endpunkt brauch ich ja garnicht auswerten, da ich ja nur bis zur Stammfunktion rechnen soll. So versteh ich zumindest die Aufgabenstellung.

Wäre das so in Ordnung oder habe ich mich verrechnet, bzw nicht komplett zusammengefasst?

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14.02.2012, 13:57

Trak92

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Hier ist es leider nicht so einfach, dass man einfach Sinus und Cosinus eingebn kann, denn erstens ist der radius nicht 1 sondern R und zweitens ist der Kreis nicht um den Ursprung, sondern versetzt.

Hier gibt es 2 herangehensweisen:

1. Man unterteilt den Kreis in abschnitte, die man als Funktion schreiben kann und nimmt dann die jeweiligen Kurvenintegrale..
2. Man wendet den Satz von Stokes an, und beschreibt die Fläche...

Wenn du dir eine der Möglichkeiten ausgesucht hast, kanns du ja nen neuen Ansatz machen.

14.02.2012, 14:34

Nene1992

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Der Satz von Stokes ist bei uns kein Klausurrelevantes Thema, wesshalb ich dann doch eher zu 1. tendiere. Wobei ich da auch erstmal gucken müsste, wie ich da am besten loslege. Werd also erstmal mein Skript zu Rate ziehen.

Habe mir außerdem nochmal meine ähnlich gestellten Aufgaben angeschaut und eine Aufgabe gefunden, in der mit

$\begin{eqnarray*} \vec{x} (t) := \begin{pmatrix} R\cdot cos(t) \\ R\cdot sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gerechnet wird. Allerdings würde dann nur das R mit in die Formel kommen.

P.S.:
Habe mir auch nochmal die Punkteverteilung angeschaut und festgestellt, das es nicht viel mehr Punkte gibt, als für die anderen ähnlichen Aufgaben. Desshalb denke ich, das der Lösungsweg nicht viel komplexer sein kann.

MfG Nené

14.02.2012, 14:38

Trak92

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Das Problem ist, dass bei dieser Aufgabe der Kreis wenn ich es richtig verstanden habe nicht im Nullpunkt liegt, sondern der Mittelpunkt über dem Punkt (1,0) platziert ist. dann kannst du es nicht so rechnen...

Mache mal bitte eine Skizze, wie du die Aufgabe interpretierst...

14.02.2012, 16:36

Nene1992

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Also ich habe hier eine ähnliche Aufgabe:

Bestimme das Wegintegral
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \vec{F}\, dx \end{eqnarray*}$
mit dem Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} \vec{F} (\vec{x} ) = xy\hat{x}+y\hat{y}+xy\hat{z} \end{eqnarray*}$
entlang des Weges
$\begin{eqnarray*} \vec{x} (t):=\begin{pmatrix} t^3 \\ t^2 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in[0,1] \end{eqnarray*}$ .
Soll auch nur bis zur Stammfunktion ausgewertet werden.

Dabei gibt diese hier, 10 Punkte und die, um die es eigentlich geht, gibt 15 Punkte.
Desshalb würde ich sagen, das es sich um die einfache Lösung handelt, wobei sich der Punkteunterschied daraus ergibt, das
$\begin{eqnarray*} \vec{x} (t) := \begin{pmatrix} R\cdot cos(t) \\ R\cdot sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nicht vorgegeben ist und man es wissen muss.

Allerdings hast du jetzt meine Neugierde geweckt. Wie wäre der Ansatz , wenn ich das Ganze nach deinem 1. Vorschlag auswerten wollte. Wie eine Flächenberechnung mit kartesischen oder Polarkoordinaten ? Gibt es da eine Seite, wo ich mir das anschauen kann?

14.02.2012, 16:54

Trak92

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wie gesagt mit cosinus und sinus von t kannst du hier nicht parametrisieren, aber das scheint dich ja nicht zu kümmern....

zu meiner ersten Variante:

es ist im Prinzip das selbe, was du eh schon machst, nur dass ich den Kreis in Stücke einteile...

das Ringintegral wird dann zur Summe von drei verschiedenen integralen..

Ich fange also am Punkt (1,0) an ich entscheide mich in negativer x-Richtun ein Kreisviertel zu gehen. Ich bewege mich auf einer Parabel:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{R}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

ich parametrisiere die Kurve:

$\begin{eqnarray*} r(t)=\begin{vmatrix} t \\ \frac{1}{R} (t-1)^{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

die Kurve geht zwischen t=1 und t=(1-R)

14.02.2012, 18:06

Trak92

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ich hab das Integral mal mit dem Satz von Stokes gelöst und habe als Endergebnis:

-4(R^2+1) raus für das wegintegral...

kannst ja schauen, ob bei der Stückzerlegung das selbe rauskommt...

15.02.2012, 11:20

Nene1992

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Ahh okey,
werd ich direkt mal ausprobieren. Dank dir schonmal

MfG Nené

15.02.2012, 12:29

Trak92

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P.S.

das Ergebins bezieht sich auf das ganze Ringintegral und nicht nur auf das Teilstück was ich parametrisiert habe.

28.02.2012, 10:54

LeereDose

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Hey
die Aufgabe interessiert mich auch und ich würde sie auch gerne lösen.
Aber ich versteh nicht wie ihr das macht.
Soweit ich das verstanden habe, teilst du den Kreis in 3 Teile auf. Dabei ist das erste Teil 1/4 des Kreises mit der Form einer Parabel?
Und dieser Weg wird mit
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{R}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$
beschrieben.
Aber wie kommt man auf diese Formel?

MfG

28.02.2012, 11:54

Trak92

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ich muss sagen, das das nicht so ganz richtig war...

ich habe letztendlich den Kreis durch eine Kurve approximiert...

Wenn man es ganz korrekt machen will muss man wohl die Kreisgleichung nehmen und die dann entsprechend aufspalten und verschieben....

28.02.2012, 12:51

LeereDose

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Es ist aber trotzdem noch möglich, das Ganze mit dem Satz von Stokes zu berechnen oder?

28.02.2012, 13:12

Trak92

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ja wenn du die kreisfläche mit funktionen darstellst kannst du das flächenintegral nehmen...

28.02.2012, 13:36

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Also in der Ursprungsaufgabe steht nichts davon, wo der Kreis liegt, nur wo der Weg beginnt und endet (im Punkt (0,1)).

Einen Kreis mit beliebiger Lage im x-y-Koordinatensystem parametrisiert man durch x=x0+R*cos(phi) , y=y0+R*sin(phi) mit Parameter phi Element [0,2pi] und Kreisradius R, oder? Damit kann man das Kurvenintegral berechnen.

Das Flächenintegral (Stokes) müsste ähnlich leicht gehen; zusätzlicher Parameter ist r Element [0,R].

28.02.2012, 13:51

Trak92

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@fragen über fragen

für mich ist es da auch nicht ganz verständlich wo der gegebene Kreis liegt....

klar ist der punkt befindet sich auf dem Rand des kreises, nicht klar ist allerdings wie dann der Kreis verläuft...ich habe einen Kreis genommen dessen tiefster punkt bei (1,0) ist...

deine parametrisierung schaut etwas merkwürdig aus du kannst ja mal schauen ob es wirklich die kreisfläche ergibt.....

28.02.2012, 14:04

Fragen über Fragen

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Zitat:

Original von Trak92
deine parametrisierung schaut etwas merkwürdig aus du kannst ja mal schauen ob es wirklich die kreisfläche ergibt.....

Was ist daran merkwürdig? Die Parametrisierung gehörte zum Kreisrand eines Kreises mit Mittelpunkt (x0,y0); bei der Kreisfläche eben ein r statt R, und r Element [0,R].

28.02.2012, 14:22

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Beim Flächenintegral nach Stokes wird dann die Rotation des Feldes mit dem (nichtnormierten) Normalenvektor des Kreises multipliziert, welcher sich beim Kreis in der x-y-Ebene so berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial r} \begin{pmatrix} x_{0} +r \cos(\varphi ) \\ y_{0}+r\sin(\varphi ) \\ 0 \end{pmatrix} \times \frac{\partial }{\partial \varphi } \begin{pmatrix} x_{0}+r \cos(\varphi ) \\ y_{0}+r\sin(\varphi ) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Das Vorzeichen muss dann bei der konkreten Aufgabe beachtet werden.

28.02.2012, 14:34

Trak92

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ich seh grad nicht so richtig was du gemacht hast...

beim satz von stokes kann man jedenfalls das wegintegral um eine geschlossene kurve als flächenintegral über die Rotation ausdrücken...

man muss also zuerst die rotation des vektorfelds berechnen...

dann ist das flächenelement, da der kreis in der x-y Ebene liegt (0,0,dxdy)

nun muss man halt die Integrationsgrenzen wählen, und hier ist das problem mit den koordintaen die du gewählt hast, wenn der kreis z.B. komplett in dem 1. quadranten liegen würde würdest du immer noch von 0-2pi integrieren also über irgend eine andere Fläche...

vllt. missverstehe ich dich aber nur...

ich denke noch mal drüber nach und fertige bei gelegenheit eine skizze an....

28.02.2012, 14:41

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Dass der Kreis verschoben ist, ist in der Parametrisierung schon verarbeitet. So macht man es doch auch bei Ebenenparametrisierung: Ortsvektor+ s*Richtungsvektor+t*Spannvektor. Hier hat der Ortsvektor eben die Komponenten x0 und y0.

rot(F) hat nur eine z-Komponente, und die ist gleich -x, mit der Parametrisierung also -x0-r*cos(phi).
Das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor aus meinem letzten Beitrag ergibt also -r*x0 - r²*cos(phi). Und dies wird über die Parameter mit einem Doppelintegral integriert, also phi von 0 bis 2pi und r von 0 bis R.
Bezüglich des Vorzeichens habe ich keine Ahnung, in der Aufgabenstellung steht kein Umlaufsinn.

28.02.2012, 17:28

Trak92

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hi,

ich werde bis morgen früh einen meinen Lösungsweg mit Ergebnis posten...

wenns dir nicht zu viel Arbeit macht könntest du doch mit deinem Lösungsweg das Ergebnis ausrechnen, dann könnte man vergleichen....

28.02.2012, 22:54

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Also Zusammenfassung:
Gegeben ein Feld F
$\begin{eqnarray*} F= \begin{pmatrix} xy \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} rot(F) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Parametrisierung der Kreisfläche:
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{r} (r,\varphi) = \begin{pmatrix} x_{0} +r \cos(\varphi ) \\ y_{0}+r\sin(\varphi ) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r\in [0,R ] \varphi \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

"Nichtnormierter Normalenvektor" (sozusagen Flächenvektor der Tangentialfläche)
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial r} \mathfrak{r} (r,\varphi) \times \frac{\partial }{\partial \varphi } \mathfrak{r} (r,\varphi) =<br /> <br /> \frac{\partial }{\partial r} \begin{pmatrix} x_{0} +r \cos(\varphi ) \\ y_{0}+r\sin(\varphi ) \\ 0 \end{pmatrix} \times \frac{\partial }{\partial \varphi } \begin{pmatrix} x_{0}+r \cos(\varphi ) \\ y_{0}+r\sin(\varphi ) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kurvenintegral mit Stokes als Flächenintegral
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_0^{2\pi} \! \int_0^R \! rot(F) \cdot (\frac{\partial }{\partial r} \mathfrak{r} (r,\varphi) \times \frac{\partial }{\partial \varphi } \mathfrak{r} (r,\varphi)) \, \dd r \, \dd \varphi <br /> = \int_0^{2\pi} \! \int_0^R \! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -(x_{0} +r \cos(\varphi )) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r\end{pmatrix} \, \dd r \, \dd \varphi = -R^{2}\cdot \pi \cdot x_{0} \end{eqnarray*}$

Kurvenintegral herkömmlich
(unter Nutzung der Parametrisierung des Kreisrandes: hier fällt das r als Parameter weg, da der Radius konstant R ist)

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_0^{2\pi} \! ((x_{0} +R \cos(\varphi ))(y_{0}+R\sin(\varphi ))\cdot R (-\sin(\varphi )) +(y_{0}+R\sin(\varphi ))\cdot R\cos(\varphi )) \, \dd \varphi = -R^{2}\cdot \pi \cdot x_{0} \end{eqnarray*}$

In der Originalaufgabe war das x_0 wahrscheinlich 0; deswegen war auch kein Umlaufsinn angegeben, da das Kurvenintegral eh verschwindet.

28.02.2012, 23:25

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Und wenn dir die Vorgehensweise mit dem Normalenvektor und so nicht geläufig ist (da du dein Wissen ja aus so einer Crashkursvorlesung beziehst, wenn ich das richtig mitbekommen habe): Sowas behandelt man in der Vektoranalysis bei Oberflächenintegralen

29.02.2012, 15:16

Trak92

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Hi,

tut mir leid, dass es so lang gedauert hat...

hier soweit mein Lösungsweg (noch nicht ganz komplett):

gesucht ist:

$\begin{eqnarray*} \oint_{C}F^{\rightarrow}dr^{\rightarrow}\Leftrightarrow \int_{A}rot(F^{\rightarrow})df^{\rightarrow} \end{eqnarray*}$

dabei ist:

$\begin{eqnarray*} rot(F^{\rightarrow})=(0,0,-x); df^{\rightarrow}=(0,0,dydx) \end{eqnarray*}$

Das resultierende Intergral ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{A}-xdydx \end{eqnarray*}$

Es ist ein Doppelintegral, und ich habe Probleme da die Grenzen in LaTeX reinzuschreben, deshalb hier die Grenzen:

$\begin{eqnarray*} y_{a}=-\sqrt{R^{2}-(x-1)^{2}}+R \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} y_{b}=\sqrt{R^{2}-(x-1)^{2}}+R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{a}=1-R \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_{b}=1+R \end{eqnarray*}$

üblicherweise ist die Grenze mit index a unten und die mit Index b oben...

damit komme ich auf folgendes Integral über x:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1-R}^{1+R}-2x\sqrt{R^{2}-(x-1)^{2}}dx \end{eqnarray*}$

jetzt werde ich versuchen das zu lösen...

P.S. du hast recht ich habe das alles in einem "Crashkurs" gelernt, und da hatten wir zwar was mit einem Normalvektor, aber das hatte dann was mit der Gradiente zu tun... Vllt. hast du ja was ähnliches gemacht und ich erkenne es nur nicht...
Ich verstehe bei deiner parametrisierung den Gedanken, nur weiss ich nicht wie man den Kreismittelpunkt verschiebt, vllt, kann ich das deshalb nicht so ganz nachvollziehen...

29.02.2012, 19:31

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Stimmt so geht es auch!
Vielleicht hat es dich gestört, dass ich den Kreis gleich beliebig ins Koordinatensystem gesetzt habe, da die Aufgabenstellung keine Aussage drüber macht.
Was bei mir x_0 bzw. y_0 ist, ist bei dir 1 bzw. R.

Zitat:

nur weiss ich nicht wie man den Kreismittelpunkt verschiebt

Einfach, indem man den Ortsvektor zum Kreismittelpunkt bildet und zur Parametriserung eines Kreises im Ursprung ( x=Rcos(phi) , y=Rsin(phi) ) dazuaddiert.

Stell dir den Kreis als Uhr mit einem Zeiger vor. Um die Punkte am Kreisrand abzufahren, muss der Uhrzeiger um 2pi rotieren, aber damit das Sinn macht (der Zeiger entspringt nicht mehr im Koordinatenursprung), muss ich den Ortsvektor zum Zeigerursprung=Kreismittelpunkt dazuaddieren.

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