Basis Untervektorraum

14.02.2012, 15:01	Hollyw00d	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Untervektorraum Folgende Aufgabe: Ist die folgende Menge ein Untervektorraum? Bestimmen sie ggf. eine Basis. $\begin{eqnarray} U_{1} := \left\{ x\in \mathbb R \| x_{1}+ x_{3} = x_{2} \right\} \end{eqnarray}$ Ich hab nun über die 3 Bedingungen festgestellt, das es ein Untervektorraum ist. Nun hab ich aber absolut keinen Plan wie ich die Basis bestimme. Ich hoffe mir kann jemand helfen.
14.02.2012, 15:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Untervektorraum Im Prinzip ist ein lineares GLS zu lösen, wobei das System nur aus einer Gleichung besteht. Wenn ihr besprochen habt, wie so ein System zu lösen ist, sollte das kein Problem sein.
14.02.2012, 16:11	Hollyw00d	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, hab nebenbei noch ne andere ähnliche Aufgabe gerechnet und die Erkentnisse aus dieser mit deiner Aussage verbunden. Also folgende Überlegung: ich kann das LGS: x1 + x3 = x2 ja auch als Matrix (1 -1 1 0) schreiben oder? und da diese ja schon in NZSF ist, bilde ich daraus folgenden Vektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x2-x3 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun ist doch aber der Rang dieser Matrix 1, was ja eigentlich auch die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren entspricht oder? Aber die Basis aus der Lösung hat 2 Vektoren.
15.02.2012, 09:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas hast du verwechselt. Der Rang der Matrix (1 -1 1 0) ist 1 und wenn du deinen Lösungsvektor so schreibst: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_2 - x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann kannst du auch eine Basis ablesen.

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