Vektorraum

14.02.2012, 21:55

Cheftheoretiker

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Vektorraum

Hallo,

ich möchte zeigen das

$\begin{eqnarray*} V:=\{f|f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + :V\times V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (f_1,f_2) \mapsto f_1+f_2 \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} f_1+f_2: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (f_1+f_2)(x,y)=f_1(x,y)+f_2(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdot : \mathbb{R}\times V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\lambda,f) \mapsto \lambda\cdot f \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) \end{eqnarray*}$

ein $\begin{eqnarray*} (V,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ reeller Vektorraum ist.

Ich muss also die 8 Axiome abklappern und für jedes Axiom einzeln zeigen das es definiert ist.

$\begin{eqnarray*} 1: (v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \in \mathbb{V} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn nun dabei vor? verwirrt

verwirrt

14.02.2012, 22:21

IfindU

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RE: Vektorraum
Du willst die Assoziativität der Addition von Funktionen zeigen. Also musst du die Definition der Addition einsetzen, was hier die punktweise bedeutet, und punktweise Addition ist die Addition im Grundkörper, und die ist assoziativ.

14.02.2012, 23:23

blubbel

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Um es an dem Beispiel vorzumachen:

$\begin{eqnarray*} f,g,h\in V,\quad\forall x\in\mathbb{R}:<br /> ((f+g)+h)(x)<br /> =(f+g)(x)+h(x)<br /> =(f(x)+g(x))+h(x)<br /> =f(x)+(g(x)+h(x))<br /> =f(x)+(g+h)(x)<br /> =(f+(g+h))(x)<br /> \end{eqnarray*}$

(Latex richtet rechts aus, unschön :/)

15.02.2012, 18:55

Cheftheoretiker

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Und damit wäre es schon gezeigt? verwirrt

verwirrt

15.02.2012, 20:28

blubbel

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Jop

smile

Du hast damit gezeigt: $\begin{eqnarray*} \forall f,g,h\in V: (f+g)+h=f+(g+h) \end{eqnarray*}$
Wie IfindU schon erklärt hat, setzt man einfach die Definition der Addition zweier Funktionen ein (nämlich punktweise), also (f+g)(x)=f(x)+g(x). Und wenn man das eingesetzt hat, kann man z.B. die Assotiativität der Addition im Körper nutzen, denn sowohl f(x), als auch g(x) sind Körperelemente.

Damit kann man das meiste eigentlich zeigen, z.B. auch die Kommutativität:

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$
nach Definition:
$\begin{eqnarray*} f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$
Kommutativität im Körper:
$\begin{eqnarray*} g(x)+f(x) \end{eqnarray*}$
Nach Definition:
$\begin{eqnarray*} (g+f)(x) \end{eqnarray*}$

Da obiges für alle f,g sowie dann für alle x gilt, folgt f+g=g+h, also die Kommutativität im Vektorraum!

15.02.2012, 20:31

Cheftheoretiker

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Sehr geil! Gott

Gott

Ich werde morgen oder übermorgen an der Aufgabe weiter arbeiten. Momentan habe ich leider etwas Schulstress, FITZ! traurig

traurig

Schonmal vielen Dank bis hierhin. smile

smile

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16.02.2012, 20:32

Cheftheoretiker

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Ich hänge nun bei folgendem Beweis,

für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ existiert ein Element $\begin{eqnarray*} -v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v+(-v)=0 \end{eqnarray*}$

Also ich muss zeigen das es ein inverses gibt. Muss ich dafür zeigen das es eine Umkehrfunktion gibt? Also,

$\begin{eqnarray*} f,f^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+f^{-1})(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+f^{-1}(x)=0 \end{eqnarray*}$

Oder wie ist das zu zeigen? verwirrt

verwirrt

16.02.2012, 20:34

Iorek

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Wie sieht denn das Nullelement in diesem (potentiellen) Vektorraum aus?

16.02.2012, 20:35

Cheftheoretiker

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Ich hätte mir dafür $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ definiert.

16.02.2012, 20:39

Iorek

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Wunderbar, da sollte sich doch eine passende "inverse" Funktion finden lassen sodass $\begin{eqnarray*} f(x)+\tilde f(x)=0~\forall x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gilt (inverse deshalb in Anführungszeichen, da es sich nicht um die inverse Funktion im Sinne der Umkehrfunktion handelt).

16.02.2012, 20:51

Cheftheoretiker

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Kann ich folgendermaßen argumentieren?

Sei $\begin{eqnarray*} f,g,h\in \mathbb V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
Dann gilt, $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ .

Es folgt daraus,

$\begin{eqnarray*} (f+h)(x)=g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x) \end{eqnarray*}$

Eventuell so? verwirrt

verwirrt

16.02.2012, 20:55

Iorek

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Die Idee ist gut, die Schreibweise noch nicht.

Zuerst: unser Nullelement ist die Nullfunktion, also die Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ .

Zu einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\in V \end{eqnarray*}$ definieren wir uns nun eine Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f\in V \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \tilde f(x)=-f(x)~\forall x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ (evtl. kurz begründen, warum dann $\begin{eqnarray*} \tilde f\in V \end{eqnarray*}$ gilt). Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} (f+\tilde f)(x)=f(x)+\tilde f(x)=\dots \end{eqnarray*}$

16.02.2012, 21:18

Cheftheoretiker

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Damit ist doch eigentlich schon gezeigt das gilt,

$\begin{eqnarray*} (f+\tilde f)(x)=f(x)+\tilde f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0+0=0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \tilde f(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

verwirrt

verwirrt

16.02.2012, 21:36

Iorek

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Ja, es ging mir da nur um einige Unsauberheiten beim Schreiben.

Zitat:

Original von hangman
Sei $\begin{eqnarray*} f,g,h\in \mathbb V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
Dann gilt, $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ .

Warum sollte das gerade so gelten? Stattdessen definiert man sich als Nullelement die Nullfunktion und als inverse Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ . Auch bei deiner jetzigen Version würde ich es eher weiterführen mit $\begin{eqnarray*} f(x)+\tilde f(x)\overset {\text{Def.}}{=}f(x)-f(x)=0~\forall x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Die Äquivalenz die du aufstellst ist als Argument nur bedingt geeignet.

16.02.2012, 21:39

Cheftheoretiker

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Zitat:

Warum sollte das gerade so gelten?

Wäre es klüger gewesen wenn ich geschrieben hätten, dann definiere ich mir? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(x)+\tilde f(x)\overset {\text{Def.}}{=}f(x)-f(x)=0~\forall x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Das ist sehr geschickt! Gott

Gott

Kann ich mir als Nullfunktion nicht einfach $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ definieren? verwirrt

verwirrt

16.02.2012, 21:43

Iorek

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Natürlich darfst du dir die Nullfunktion als $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ definieren, das solltest du sogar auch tun. Auch die andere Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ kannst du dir gerade so definieren, wie es dir passt, solange es zulässig ist. Die Aussage "dann gilt" ist in diesem Zusammenhang aber nicht nachvollziehbar, schließlich gilt das nicht allgemein für Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g,h\in V \end{eqnarray*}$ .

16.02.2012, 21:54

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank für deine Ausführung.
Ich werde morgen an der Aufgabe weiter arbeiten.

smile

smile

17.02.2012, 17:59

Cheftheoretiker

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Das Distributivgesetz muss ich auch noch zeigen,

$\begin{eqnarray*} \lambda (v_1+v_2)=\lambda v_1+\lambda v_2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb V \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist der folgende,

$\begin{eqnarray*} f,g\in \mathbb R^2 , \lambda\in \mathbb R. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda(f+g)(x)=\lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x) \end{eqnarray*}$

Wäre es damit schon gezeigt?

17.02.2012, 18:03

Iorek

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Da es sich bei $\begin{eqnarray*} \lambda, f(x),g(x) \end{eqnarray*}$ jeweils um reelle Zahlen handelt, ist das ausreichend, ja.

17.02.2012, 18:08

IfindU

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Ich würde da noch gerne die Defintion der skalaren Multiplikation von Funktionen sehen, damit man zum Schluss auf den Term $\begin{eqnarray*} (\lambda f + \lambda g)(x) \end{eqnarray*}$ kommt.

17.02.2012, 18:12

Cheftheoretiker

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Und für

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)v=\lambda_1 v+\lambda_2 v \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R, v\in \mathbb V. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \in \mathbb R^2 , \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)f(x)=\lambda_1 f(x)+\lambda_2 f(x) \end{eqnarray*}$ .

Wäre es damit auch schon gezeigt? verwirrt

verwirrt

17.02.2012, 18:14

Cheftheoretiker

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Meinst du das so?

$\begin{eqnarray*} (\lambda f + \lambda g)(x)=\lambda f(x)+\lambda g(x) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

17.02.2012, 18:16

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \lambda(f+g)(x)=\lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x) \end{eqnarray*}$

Soweit hattest dus, und nach Definition ist $\begin{eqnarray*} \lambda f(x) = (\lambda f)(x) \end{eqnarray*}$

17.02.2012, 18:17

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \lambda(f+g)(x)=\lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x) \end{eqnarray*}$

Soweit hattest dus, und nach Definition ist $\begin{eqnarray*} \lambda f(x) = (\lambda f)(x) \end{eqnarray*}$

Und damit wäre es gezeigt?

17.02.2012, 18:20

IfindU

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Noch nicht ganz - dann hast du die Summe von 2 Funktionswerte - und das ist die Definition der Summe zweier Funktionen ausgewertet am Funktionswert.

Aber Iorek war schon vorher zufrieden, vielleicht bin ich nur sehr penibel.

17.02.2012, 18:23

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} \lambda(f+g)(x)=\lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x)=(\lambda f)(x)+(\lambda g)(x) \end{eqnarray*}$

jetzt? Big Laugh

Big Laugh

17.02.2012, 18:26

IfindU

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Du kannst ja $\begin{eqnarray*} \tilde f := \lambda f, \tilde g := \lambda g \end{eqnarray*}$ setzen, dann siehst du direkt die Definition der Addition der Funktionen $\begin{eqnarray*} \tilde f, \tilde g \end{eqnarray*}$ .

17.02.2012, 18:34

Cheftheoretiker

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Ja okay!

Freude

Wie sieht es denn noch mit

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)v=\lambda_1 v+\lambda_2 v \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R, v\in \mathbb V. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \in \mathbb R^2 , \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)f(x)=\lambda_1 f(x)+\lambda_2 f(x) \end{eqnarray*}$ .

aus? verwirrt

verwirrt

17.02.2012, 18:51

IfindU

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Du solltest dir klar machen, dass du
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)f(x)=\lambda_1 f(x)+\lambda_2 f(x) \end{eqnarray*}$
nicht zeigen willst.

Du willst
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)f =\lambda_1 f+\lambda_2 f \end{eqnarray*}$
zeigen.

Und nun überprüft man die Gleichheit von Funktionen - die sind nämlich gleich, wenn sie an jeder Stelle x übereinstimmen.
Also für allgemeines x überprüfst du, ob folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} ((\lambda_1+\lambda_2)f)(x) =(\lambda_1 f+\lambda_2 f)(x) \end{eqnarray*}$ .
Und nun musst du die verschiedenen Definitionen die du gegeben hast einsetzen und überprüfen ob es wirklich stimmt.

17.02.2012, 18:58

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} ((\lambda_1+\lambda_2)f)(x) =(\lambda_1 f+\lambda_2 f)(x) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)f(x)=\lambda_1 f(x)+\lambda_2 f(x) \end{eqnarray*}$

Reicht das?

17.02.2012, 19:00

IfindU

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Das solltest du so aufschreiben wie du es eben hattest, also von links nach rechts umformen, ansonsten stimmt es. Freude

Freude

17.02.2012, 19:04

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} ((\lambda_1+\lambda_2)f)(x) =(\lambda_1 f+\lambda_2 f)(x)=\lambda_1f(x)+\lambda_2f(x) \end{eqnarray*}$

Okay, vielen Dank! Gott

Gott

17.02.2012, 19:07

IfindU

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$\begin{eqnarray*} ((\lambda_1+\lambda_2)f)(x) =(\lambda_1 f+\lambda_2 f)(x)=\lambda_1f(x)+\lambda_2f(x) = (\lambda_1f+\lambda_2f)(x) \end{eqnarray*}$

Ich würde dann noch den einen Schritt dazu machen, weil man dann schön sieht dass die Punktweise gleich sind, und damit ganz gleich.

17.02.2012, 20:14

Cheftheoretiker

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Noch eine Frage, dieser Nachweis wäre doch im Endeffekt ein direkter Beweis oder?
Gibt es eventuell ein Buch oder ein tolles Skript, in dem man beweisen lernen kann? smile

smile

17.02.2012, 22:02

IfindU

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Jap, man hat eine Definition von einem Vektorraum und rechnet nach, dass eine Menge auch ein Vektorraum ist.

"Beweisen" zerfällt grundsätzlich in 2 Sachen:
Die Beweisideen und den Formalismus, der nötig ist, die Ideen sauber aufzuschreiben.

Für Ideen bieten sich so ziemlich alle Mathebücher an - aber auch eben Übungsaufgaben machen. Es dauert beim ersten Mal bei einem neuen Aufgabentyp bis man weiß, was überhaupt gemeint ist, wo man ansetzen soll usw., aber wenn man sich da mal durchgequält hat, ist es bei der nächsten, ähnlichen, schon deutlich einfacher.

Für Formalismus sind einige Bücher sicher besser geeignet als andere. Jänich würde ich wohl niemanden dort empfehlen, da die eine Hälfte trivial ist und nichts dazu geschrieben wird, und die andere trivial und es wird kurz erläutert, warum jeder es hätte sehen sollen. Ein Gutes würde mir da allerdings auch nicht einfallen.

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