Symetrie und Positive Definitheit zeigen

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Schaay Auf diesen Beitrag antworten »
Symetrie und Positive Definitheit zeigen
Hallo, ich habe folgendes Problem:

Es existiert eine Matrix M = A * (A transponiert) die symetrisch und positiv definit ist. Dies soll man zeigen. A ist eine 3x4 Matrix.

Mein lösungsansatz: ich weiß das symetrische matrizen die eigenschaft A = A transponiert haben. M muss ja eine 3x3 Matrix sein. Wie zeige ich den das das gilt ?

und

die eigenschaften der positiven definitheit kenne ich auch, aber wie zeige ich das außer mit dem Hauptminorenkriterium, den das haben wir nicht in der vorlesung gehabt und somit ist der lösungsweg in der klausur auch nicht erlaubt.

danke schonmal
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du weißt, dass die Matrix symmetrisch ist, weißt du das einige Einträge gleich sein müssen. Das kannst du anwenden und dann allgemein M berechnen.
Schaay Auf diesen Beitrag antworten »

also es ist eine matrix A gegeben, aber wir sollen beweisen das M wirklich symetrisch und positiv definit ist ohne M zu berechnen.. deswegen fällt rechnen schonmal flach ...
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weiß ich nicht wie man das Beweisen soll, vielleicht kann dir jemand anders weiterhelfen.

Falls es dir doch weiterhilft: Ich hätte jetzt allgemein das Produkt der Matrizen berechnet und dann die Einträge verglichen und geschaut, ob die Matrix wieder symmetrisch ist.
Schaay Auf diesen Beitrag antworten »

ja das wäre aber für eine klausuraufgabe bei uns zu einfach verwirrt

danke trotzdem
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schaay
ja das wäre aber für eine klausuraufgabe bei uns zu einfach verwirrt
Wenn A so vorgegeben ist, dann ist es völlig legitim, es per ausrechnen zu beweisen, wie Zizou66 es vorgeschlagen hat.
 
 
Schaay Auf diesen Beitrag antworten »

in der aufgabe steht aber: zeigen sie dies ohne M explizit auszurechnen. sonst hätte ich es ja einfach berechnet
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schaay
in der aufgabe steht aber: zeigen sie dies ohne M explizit auszurechnen.
Na schön dass du uns das nun auch endlich mal mitteilst böse
rogmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symetrie und Positive Definitheit zeigen
M = A * A T (transponiert)
M T = (A * A T) T
M T = A T * A

Die Positive definitheit geht dann analog.
Schaay Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von Schaay
in der aufgabe steht aber: zeigen sie dies ohne M explizit auszurechnen.
Na schön dass du uns das nun auch endlich mal mitteilst böse



das habe ich schon längst, siehe:
Zitat:
Original von Schaay ...aber wir sollen beweisen das M wirklich symetrisch und positiv definit ist ohne M zu berechnen..


aber danke rogmann, so hatte ich es mir schon gedacht. aber kannst du mir das vllt genau zeigen mit der positiven definitheit? ich krrieg nämlich nur quatsch raus
rogmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symetrie und Positive Definitheit zeigen
probier es mal mit der Definition der Definitheit :

und versuch es auf ein Skalarprodukt zu bringen.
Schaay Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition kenne ich ja, und ich weiß auch das eine Zahl rauskommen muss > 0, aber ich vergestehe nicht wie ich das umformen oder sonst was muss, um zu beweisen das M positiv definit ist, ohne das ich M berechnen soll.. leider
rogmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symetrie und Positive Definitheit zeigen
Also du setzt für M dein A * A T (transponiert ein).

und erhälst xT * (A* A T) x > 0

Mit Hilfe der Rechenregeln für transponierte Matrizen:
(A * B)T = BT * AT //die Matrizen werden vertauscht wie du siehst.
Kommst du auf
(AT *x) * AT*x >0 und erhälst nach Matrizenmultiplikation AT*x zwei identische n=1 Vektoren die ein Skalarprodukt ergeben, welches immer positiv und größer null ist für x nicht nullvektor.

Probier die Umformung einfach mal aus.
Schaay Auf diesen Beitrag antworten »

also quasi wenn ich ein 1 x m Vektor mit einer matrix m x n matrix mal nehme, erhalte ich einen vektor 1 x n, den ich dann als skalarprodukt mit dem produkt aus der n x m matrix mal dem m x 1 vektor bilde mit ich eine zahl (1 x 1) erhalte

aber das wird mir noch nicht ganz klar: durch das xT * A wird daraus AT * x wenn ich das ganze transponiere. aber warum transponiere ich das ganze dann erst, wenn ich es so wie oben beschrieben machen kann?
rogmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symetrie und Positive Definitheit zeigen
Bei meiner ersten Antwort hab ich eine Fehler gemacht.
Es müsste nach den Rechenregeln heißen: M T= A*AT

Wichtig ist das Matrizen nicht kommutativ sind bei Ihre Multiplikation(A * B ist nicht gleich B* A)
Daher musst du die Matrizen mit der Klammer transponieren um Sie zu tauschen.
Assoziativ aber geht es gilt: (A*B)*C=A*(B*C).

Also durch das transponieren alles etwas durcheinander aber vom Sinn her schon richtig.Also nehmen wir (AT *x) * (AT*x).
AT hat(da transponiert) n Zeilen und m Spalten
und x ist ein Vektor daher m Zeilen und n spalten n=1
Nach Multiplikation:

und dann bekommst du ein Sklalar heraus.
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