Nullstelle eines Polynomes berechnen

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patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle eines Polynomes berechnen
Meine Frage:
Hallo,

es geht ganz allgemein um Ganzrationale Funktionen. Die Aufgabenstellung lautet: "Berechne die Nullstellen und die Schnittpunkte mit der y-Achse." Nun habe ich eine Gleichung gefunden, bei der ich nicht weiter weiß, weil sie wohl ein Sonderfall ist. Ich weiß einfach nicht, wie mein Mathe-Lehrer auf folgende Lösungen bei dieser Aufgabe kommt:

f(x) = -3x
Lösung: Sy (0/0)
Nullstelle: (0)

Danke vorab für Hilfe

Meine Ideen:
Hab momentan leider keine Ideen
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gehst du denn sonst vor? Gehe hier genauso vor Augenzwinkern .
 
 
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe jedoch den Rechenweg nicht. Normalerweise hat man bei ganzrationalen Funktionen ja eher so eine Gleichung: -x^3-2x^2+x+2 : (x-1)

Hier ist aber nur eine Zahl in der Gleichung: -3x

Bei ersterer Gleichung fängt man ja mit der Polynomdivison an. Wie aber verhält sich das bei der eben beschriebenen Gleichung?

Gleiches Problem bei folgenden Aufgaben: 2x^4 - 2x^2

Wäre nett, wenn mir jemand den genauen Rechenweg beschreiben könnte.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre die Nullstellensuche. D.h. du verlangst f(x)=0.
Unser f(x) lautet nun -3x.

Du bist dran smile .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommt man auf Sy (0/0), wenn nur f(x)= -3x angegeben ist? Wäre f(x)= -2x wäre die Nullstelle dann auch einfach 0?
Da gibts also eigentlich nichts zu rechnen, oder?

Aber wie wäre das dann bei der anderen Gleichung? 2x^4 - 2x^2
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Die Nullstelle ist einfach 0.

Den y-Achsenabschnitt erhälst du, wenn du dir die Funktion an der Stelle x=0
anschaust. Also f(0) bestimmst Augenzwinkern .

Merken:
Nullstelle mit der x-Achse: f(x)=0
Nullstelle mit der y-Achse: f(0)=?



Zitat:
Aber wie wäre das dann bei der anderen Gleichung?
2x^4 - 2x^2


Ein Speziallfall und daher sehr einfach. Stichwort: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt Augenzwinkern .
Wäre da noch eine Konstante, wäre eine Substitution sinnvoll.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Das letzte habe ich nicht verstanden. Wie würde das als Rechnung denn aussehen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Probier es selbst soweit wie du kommst Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber hilft mir nicht weiter. Ich stecke da fest.

in einem Arbeitsblatt von mir steht, dass man durch Ausprobieren der Nullstelle (also meistens 0 ind em Fall) anfangen soll und dann quasi nach x auflösen soll.

Dann komme ich auf folgende Nullstellen. Durch Ausprobieren wie gesagt auf die 0(ist das dann immer die 0 am Anfang?) und 1. In den Lösungen wird aber auch -1 als Nullstelle angegeben. Wie kommt man denn da drauf dann? Nochmal ausprobieren oder gibt es da auch eine Rechnung für? Stimmt es, dass durch die Nullstelle 1 die zweite Nullstelle automatisch -1 sein muss, also das die Vorzeichen da quasi zweimal vorhanden sind: plus und minus?

Und Schnittpunkt von y ist bei solchen Aufgaben auch immer nur 0/0, oder?

Hoffe, das war verständlich.

Nur dasselbe lässt sich NICHT auf folgende Gleichung anwenden.

x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x (Problem hier auch, dass letzte Zahl mit x ist)

Warum nicht? Was mache ich da falsch? (bitte nicht mit zu vielen mathematischen Begriffen antworten ^^)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wie ich schon sagte, geht man da nicht mit Raten vor.
Das Raten macht man, wenn man eine Funktion dritten (oder höheren) Grades
hat und nicht ausklammern kann. Man möchte dann eine Polynomdivision machen und
braucht dazu eine Nullstelle -> diese wird erraten.
In unserem Beispiel kann man aber erst mal ausklammern.
Klammere mal 2x² aus. Wie sieht dann die Gleichung aus?


Zitat:
Stimmt es, dass durch die Nullstelle 1 die zweite Nullstelle automatisch -1 sein
muss, also das die Vorzeichen da quasi zweimal vorhanden sind: plus und minus?

Nur in Spezialfällen. Hast du eine Parabel deren Scheitel bei x=0 liegt, stimmt das, sonst
aber eher nicht.

Zitat:
Nur dasselbe lässt sich NICHT auf folgende Gleichung anwenden.
x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x (Problem hier auch, dass letzte Zahl mit x ist)


Lass uns das danach betrachten. Das fängt zwar ähnlich an, geht dann aber anders weiter smile .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Also als Beispiel haben wir das so gelernt:

2x^3 - x^2 (Durch Ausprobieren erste Nullstelle: 0)

f(0)=0

f(x)=0, ...


Also geht das bei der Gleichung doch auch auf:

2x^4 - 2x^2 (dann nach x auflösen, wäre eine verkürzte Polynomdivison, heißt es). Also dann als 1. Schritt geteilt durch x, 2. Schritt nochmal durch x teilen, 3. schritt ebenfalls durch x teilen. 4. Schritt wäre dann+2, dann sieht die Gleichung so aus:

2x=2. Nochmal durch 2 und man hat x= 1. Steht so in den Lösungen. Daher meine Schlussfolgerung: -1 ist auch eine Nullstelle, denn wenn man -1 in die Gleichung einsetzt kommt 0 raus.

Hier als Bild (Bsp. 3):
http://local.twitpicproxy.com/web6/img/518488398-36802b5f442b06c0d205a22cde37de9c.4f3d19f0-scaled.jpg
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Naja eine sehr umständliche Art das zu Lösen.


Um zu deinem Weg zu kommen: Schritt 1 und 2 sind richtig. Doch den dritten Schritt
kannst du so nicht sinnvoll anwenden.
Du hast dann, 2x-2/x=0. Das ist wohl kaum was du willst.
Bleib beim zweiten Schritt: 2x²-2=0.

Arbeite daran weiter Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wäre das hier richtig?

2x^2 -2 = 0 / +2

2x^2 = 2 / : 2

dann habe ich noch x^2 = 1 da stehen. Wie gehts denn dann weiter? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup ist richtig.


Naja, wenn du en Quadrat hast, nimmst du doch normal die Wurzel, oder? So also auch hier Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Wurzel von 1 ist 1, richtig?

Gut, dann habe ich die zweite Nullstelle. N1 (0/0), N2 (1/0)

Jetzt der Knackpunkt: Wie kommt man auf N3(-1/0)? Wie ich gesagt habe, einfach das Vorzeichen umdrehen und ausprobieren? Im Bild sieht man ja auch nichts davon...

Und nochmal die frage: Schnittpunkt von y ist bei dieser Aufgabe (0/0). Wäre das bei ähnlichen Aufgaben auch so, bsp. 3x^3-2x^2, ...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nah. Wenn du die Wurzel von x² ziehst, hast du mehr als ein Ergebnis!




Probe: 1²=1 und (-1)²=1

Klar? Augenzwinkern


Wie du den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmst hatte ich dir ja schon gesagt.
f(0)=?
D.h. du nimmst alle x'en =0. Das ist bei uns bisher immer S(0|0) gewesen Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, dankeschön.

Jetzt mein 2. Problem. Wie lässt sich das auf diese Gleichung übertragen? Ausklammern weiß ich gar nicht mehr wie das geht

x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast hier kein konstantes Glied. Also mindestens immer ein x in jedem deiner Summanden.
Du kannst es also leicht ausklammern.
Von mir aus auch eine "verkürzte Polynomdivision" machen :P.
Du hast dann nur noch eine Funktion dritten Grades -> "normale" Polynomdivision Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, irgendwie klappt das mit der verkürzten Polynomdivision aber nicht.


Wenn ich dreimal hintereinander durch x teile, habe ich folgendes raus:

2x + 2 = 0 /-2

2x = 0 /: 2
x= 0

in den Lösungen steht aber auch was von Nullstelle = -1.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die verkürzte Polynomdivision kannst du nur so oft anwenden wie du kein konstantes
Glied hast!
Hier hast du schon nach einer verkürzten Polynomdivision ein konstantes Glied.
Deshalb musst du hier mit der normalen Polynomdivision ran Augenzwinkern .

Zitat:
2x + 2 = 0 /-2


Wie du das geschafft hast geschockt . Mein Respekt. Zumindest das was da rauskommen würde
ist richtig^^ Hat aber nichts mehr mit unserer Aufgabe zu tun *hust*.
Und Übrigens:
2x + 2 = 0 /-2
2x=-2
x=-1 Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber mit 2x am Ende kann ich doch keine Polynomdivison anfangen.

Das heißt nach dem 2. Schritt der verkürzten Polynomdivision (geteilt durch x), kann ich mit der stinknormalen Polynomdivison anfangen?

f(x)= x^3 + x^2 + 2x + 2
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte ja, dass du einmal die verkürzte Polynomdivision anwenden kannst Augenzwinkern .

Yup genau.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso, dankeschön. Dann habe ich als Ergebnis aber 1x^2 + 0 +2 raus. Wenn ich das in die p/q-formel einsetze, erhalte ich keine nullstelle, da man von -2 keine wurzel nehmen kann. -1 als nullstelle habe ich ja schon im 2. schritt durch ausprobieren herausgefunden. Wie komme ich jetzt auf die Nullstelle 0, die in den Lösungen noch angegeben wird?

Und das mit der Wurzel ziehen: Wenn ich statt 1 die 2 oben im Beitrag von dir einsetzen würde, wie würde das dann aussehen (verstehe das noch nicht ganz)?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja -1 und 0 sind die Nullstellen. Das 0 eine Nullstelle ist, hast du verwendet, als du die
verkürzte Polynomdivision angewendet hast Augenzwinkern .

In welchem meiner oberen Beiträge? :P

Zitat:


?

->




Beachte, dass das Minus ja beim Quadrieren "rausfällt".
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, die 0 ist die Nullstelle weil ich wieder =0 gemacht habe und dann durch x geteilt,...

Das habe ich vergessen, muss ich mir also merken.

Dann habe ich nur noch hierbei Probleme:

- (x+1)^4 + 1

Da verstehe ich wieder gar nichts, das ist ja wieder eine andere Gleichung... und ein fertiges Beispiel hierfür habe ich auch nicht. Ich glaube, dass verkürzte Polynomdivison hier nicht funktioniert, oder?

Muss man hier vielleicht (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) rechnen? Und das dann hinterher +1 oder wie? Aber wie mache ich das dann mit der -1 vor der Klammer?

Was ich nocht nicht verstehe: Weshalb habe ich beim Quadrieren bei 1 zwei Ergebnisse?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Achso, die 0 ist die Nullstelle weil ich wieder =0 gemacht habe und dann durch x geteilt,...


Hmm ich bin jetzt nicht sicher ob du das richtige gemeint hast. Aber du hast ja eine
Polynomdivision gemacht, mit x=0. Das ist also deine Nullstelle.

Zitat:
- (x+1)^4 + 1

Erstmal Null setzen.
-(x+1)^4+1=0

Subtrahiere 1. Dann versuchs mit Wurzelziehen Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich nocht nicht verstehe: Weshalb habe ich beim Quadrieren bei 1 zwei Ergebnisse?

Verstehe ich nicht. Wenn ich -1 mache, habe ich das doch dann so, oder?

-2 (x+1)^4 = -1

Wie soll ich da ne Wurzel ziehen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt denn die 2 her? Die war grad nicht da?
Also du solltest die Klammer alleine dastehen lassen...ohne Vorzeichen oder Vorfaktor.
Dann Wurzel ziehen. Beachte, dass es mehr als nur die 2te Wurzel gibt smile .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso habe ich beim Quadrieren bei 1 zwei Ergebnisse? -1 und 1?

Und das eben beschriebene geht nicht. Da steht am Ende dann:

(x+1)^4 = 1 und davon dann die 4. Wurzel ziehen?

In der Lösung stehen die Nullstellen bei 0 und 2. Weshalb schon wieder die 0?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber wieso habe ich beim Quadrieren bei 1 zwei Ergebnisse? -1 und 1?

Beim Quadrieren hast du zweimal dasselbe Ergebnis! Beim Wurzel ziehen hast du zwei
verschiedene Ergebnisse.
Wie ich schon erklärte...quadrierst du ein negatives Vorzeichen ergibt sich daraus
ein positives -> -*-=+ Augenzwinkern

Schau auch nochmal mein obiges Beispiel mit der auch gemachten Probe!


Zitat:
Und das eben beschriebene geht nicht. Da steht am Ende dann:

Was geht nicht?

Zitat:
(x+1)^4 = 1 und davon dann die 4. Wurzel ziehen?


Das ist auf jeden Fall schon mal richtig Augenzwinkern .

Zitat:
In der Lösung stehen die Nullstellen bei 0 und 2. Weshalb schon wieder die 0?

Na mach mal weiter. Beachte, dass du eine gerade Potenz hast -> Du hast also
wieder zwei Ergebnisse, da du das negative Vorzeichen mitbeachten musst! Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die 4. Wurzel von 1 ziehe kommt 4 raus, in den Lösungen steht aber 2 und 0.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist
Was ist
Du hast außerdem die Vorzeichen wieder nicht beachtet!
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei letzterem kommt 4 raus, bei ersterem 1. Also wie ist das mit den Vorzeichen gemeint?

Eine Beispielrechnung würde mir vielleicht helfen, weil ich total auf dem Schlauch stehe...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, auch

Egal die wievielte Wurzel du nimmst, 1 bleibt 1! Augenzwinkern

Zitat:
Eine Beispielrechnung würde mir vielleicht helfen, weil ich total auf dem Schlauch stehe...

Hatte ich doch schon gemacht verwirrt .




Das kannst du leicht mit der Probe überprüfen. Ziel: Auf x²=4 zu kommen.
Das geht natürlich mit x=2 -> x²=4.
Es geht aber sehr wohl auch mit x=-2 -> x²=(-2)²=4

Nun klar?
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke schon. Nur habe ich bei der Aufgabe dann halt das Problem, dass 1 rauskommt. Aber in der Lösung sind die Nullstellen eben bei 0 und 2. Das irritiert mich.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso kommt da 1 raus? Das ist nur die rechte Seite! Wie sieht die linke aus?
Ist damit die Aufgabe klar?^^
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich (x+1)^4 links habe und die vierte Wurzel von 1 ziehe, kommt also das raus.

(x+1) = 1 /-1

x= 0

Das erklärt mir aber nicht, wie man auf die zweite Nullstelle (2) gekommen ist.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder hörst du nicht zu, oder ich weiß auch nicht unglücklich .

Ein letztes Mal. Du ziehst die Wurzel, es steht also da:



Warum das so ist kannst du in den letzten 20 Posts nachlesen...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist dann auf die beiden Lösungen gekommen?
Du konntest mir folgen?
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich frage mich nur gerade, warum dasselbe nicht bei dieser Aufgabe geht:

-(x+1)^4 + 1

Als Lösung: N(0,2/0)

Sy (0/0)

Wie zum Teufel kommt man da auf die Zahl 0,2, wenn ich dasselbe mache wie vorher
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