Eigenwerte bestimmen, Spiegelung an einer Ebene |
| 16.02.2012, 16:41 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenwerte bestimmen, Spiegelung an einer Ebene Ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben... B = A = Die lineare Abbildung , ist eine Spiegelung an einer Ebene E gefolgt von einer Streckung um den Faktor 5, die nur senkrecht zur Ebene E wirkt. (Die Ebene E enthält den Koordinatenursprung.) Geben Sie alle Eigenvektoren der Matrix A an. Meine Ideen: Ich habe die Eigenwerte von A = ((y-1)^2(y+5)) und B=3A ausgerechnet. Ich weiß grade aber gar nicht wie ich die Eigenwerte dieser Spiegelung rausbekomme. Die Angaben in der Aufgabenstellung klingen ziemlich kryptisch für mich. Ach ja, das Ergebnis sollte sein: Eigenwert 1(doppelt), -1(einfach). Ich würd mich über ein Paar Denkanstöße sehr freuen 
Viele Grüße |
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| 16.02.2012, 18:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eigenwerte bestimmen, Spiegelung an einer Ebene Aber die Abbildung ist doch durch die Matrix A gegeben: ...... |
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| 16.02.2012, 18:59 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich die Eigenwerte von A berechne, bekomme ich aber 1(doppelt) und -5(einfach) raus. "...Streckung um den Faktor 5, die nur senkrecht zur Ebene E wirkt." Was genau ist damit gemeint? |
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| 16.02.2012, 19:03 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bedeutet, dass ein Vektor zuerst gespiegelt wird und danach wird der gespiegelte Vektor um den Faktor 5 gestreckt, das macht deine Matrix A mit einem beliebigen Vektor. Also: nehme einen Vektor, multipliziere ihn an die Matrix und du erhälst ein 5 mal so langes Spiegelbild des Vektors. |
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| 16.02.2012, 19:20 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahh, ich verstehe. Nur weiß ich immernoch nicht so recht wie ich auf diese Eigenwerte kommen soll, die in den Lösungen standen :\ |
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| 16.02.2012, 19:32 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe auch die EW 1 und -5, auch Wolfram alpha hat diese Eigenwerte, vielleicht stimmt die Angabe in der Lösung nicht? |
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| 16.02.2012, 19:38 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Spiegelung: Eigenwert 1 (doppelt), −1 (einfach); A: Eigenwert 1 (doppelt), −5 (einfach); B = 3A: Eigenwert 3 (doppelt), −15 (einfach);" Das sind alle Eigenwerte, die ich rausbekommen soll. Die Eigenwerte von A und B hab ich ausgerechnet und hab die auch so raus bekommen. Ich weiß jedoch nicht wie ich auf die Eigenwerte, die unter "Spiegelung" stehen komme. |
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| 16.02.2012, 19:41 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Spiegelung: Eigenwert 1 (doppelt), -1 (einfach); A: Eigenwert 1 (doppelt), -5 (einfach); B = 3A: Eigenwert 3 (doppelt), -15 (einfach);" Sorry, habs aus einer pdf rauskopiert... |
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| 16.02.2012, 19:43 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oben in der Aufgabe steht:
Die Matrix A hat die Eigenwerte 1 und -5, nun noch die Eigenvektoren ausrechnen. Copy Paste ist übrigens zumeis Mist, die Formatierung ist voll daneben, also lieber die Mühe machen, das kurz abzutippen, die Vorschau hilft, solche Fehler vor Absenden zu erkennen. Ein Eigenwert einer Spiegelung ist immer 1, ein weiterer immer -1..... Nimm doch mal die Streckung aus der Abbildung heraus und betarchte nur die Spiegelung. |
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| 16.02.2012, 20:12 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also 1/15*B? oder versteh ich das falsch? |
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| 16.02.2012, 20:27 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte das anders: Was ist ein Eigenwert? Das ist das Skalar (oder die Skalare) für die die Multiplikation eines Vektors mit diesem Skalar gleich der Multiplikation mit der Matrix sind, also für die gilt: Nun haben wir eine Spiegelung an einer Ebene, alle Vektoren, die in der Ebene liegen werden auf sich selbst abgebildet (Eigenwert 1) und eine Basis dieses Eigenarums ist eine Basis der Ebene, also geometrische Vielfachheit und algebraische Vielfachheit ist 2. Alle Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen werden auf ihr neatives abgebildet (Eigenwert -1) in diesem Fall mit der Vielfachheit 1 (klar, es existiert bis auf linare abghängigkeit nur ein solcher Vektor). Nun betrachten wir die Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen (diesmal ist die Spiegelstreckung gemient): Sie werden erst gespiegelt und dann um den Faktor 5 gestreckt, also gilt für diese Vektoren Nehmen wir hier die Streckung heraus erhalten wir den Eigenwert -1. Die Spiegelebene ist nun der Eigenraum zum Eigenwert 1. |
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| 16.02.2012, 20:39 | sussi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, jetzt hab ichs endlich verstanden
Vielen Dank für die Geduld! Viele Grüße |
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| 16.02.2012, 20:51 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du noch Fragen hast, gerne wieder. Und immer die geometrische Interpretation von Eigenwerten und Eigenräumen im Kopf behalten... 
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