Wertebereich von f(x) = x^x

Neue Frage »

KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »
Wertebereich von f(x) = x^x
Meine Frage:
hi,

ich bin schon seit stunden am überlegen aber ich komm nicht drauf

was ist denn der Wertebereich von
und wie berechnet man den?!

Meine Ideen:
Der Wertebereich sind die Werte, die für f(x) in Frage kommen,
muss man da dann den Defenitionsbereich als Grundlage einsetzen?
Dieser wäre , da alles definiert ist außer f(0)=0^0
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das absolute Minimum ist ein relatives Minimum. Ausrechnen!
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

also absolutes minimum und maximum berechnen?
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

also 0^0 ist soweit ich weiss als 1 definiert.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Mit hat man Def.Bereich und Wertebereich .

Natürlich ist und mit und Ableitungsregeln kann man auch ausrechnen.

Bzgl. min/max rate ich mal mit... ist unbeschränkt und hat Minimum in .
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

ich will nicht wissen wie was ist
sondern wie man das ausrechnet^^
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Maximum bei der Funktion?

so wie immer: Ableitung Null setzen, ausrechnen in Funktion einsetzen.

KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

@Trak92 0^0 ist doch nicht definiert?!
@SusiQuad da 0^0 nicht definiert ist stimmt nicht als Def.bereich
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du sollst den Tiefpunkt berechnen und nicht mit weiteren Helfern diskutieren.
Den Def-bereich hasst du ja selbst schon angegeben.
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

die ableitung von f(x) sieht nun so aus:


aber
ist nicht eindeutig lösbar...
was nun?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KönigsHaki
die ableitung von f(x) sieht nun so aus:


aber
ist nicht eindeutig lösbar...
was nun?


es hilft nur die richtige Ableitung:

KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Zitat:
Original von KönigsHaki
die ableitung von f(x) sieht nun so aus:


aber
ist nicht eindeutig lösbar...
was nun?


es hilft nur die richtige Ableitung:



oder nicht?

naja auf jeden fall ist auch nicht eindeutig lösbar
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht wieder im Ganzen zitieren. Das ist redundant.


Zitat:

... naja auf jeden fall ist auch nicht eindeutig lösbar

also Null gesetzt...

und warum nicht? Deine Überlegungen würden schon interessieren.
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs in wolframalpha reingehauen und geschaut, nachdem ich nicht wusste, wie man nach x auflöst

also eine begründung habe ich keine
rslz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KönigsHaki
@Trak92 0^0 ist doch nicht definiert?!
@SusiQuad da 0^0 nicht definiert ist stimmt nicht als Def.bereich


0^0 ist nicht in diesem Sinne "nicht definiert"; für bestimmte Funktionen wie z.Bsp. die vorliegende kann man tatsächlich (lim x -> 0)(x^x)=1 berechnen (mit Hilfe des allseitsbewährten l'Hopital)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

denken, nicht Wolfram Alpha!

schon mal was vom Nullproduktsatz gehört?





geht das jetzt?
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

Dass ist hab ich komplett vergessen -.-
Satz vom Nullprodukt, die Gleichung ist gleich 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist

KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

das setze ich nun in ein

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



wäre richtig. (Klammern!).

ist falsch. besser:


wenn es der Taschenrechner kann.


Denk noch an die Wertemenge wenn
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

also ist mein Wertebereich für
?
cheshire Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir klar was der Wertebereich ist? Die Bilder der Elemente der Definitionsmenge unter f. Und wie zuvor schon angemerkt ist f unbeschränkt, das heisst die rechte intervallgrenze ist .

Was ist nun die linke?

Spoiler: Sie hat was mit (1/e)^(1/e) zu tun. Aber warum eigentlich? Bisher wissen wir ja nur, dass 1/e eine mögliche Extremstelle ist. Aber weder ist klar, ob sie wirklich eine ist (x³ -> 0), noch, dass wenn sie eine ist, dass es sich dann auch um ein absolutes Extremum handelt.
Und dann wäre da noch zu schauen was am linken Rand des Definitionsbereichs, d.h. bei x=0 passiert und ob vielleicht f(0)<f(1/e)...

Es bleibt noch viel zu tun Lehrer
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cheshire
Ist dir klar was der Wertebereich ist?


Ne war mir nicht so ganz klar und ist es, auch noch nach der Erklärung nicht so ganz einleuchtend...unglücklich
sind es nicht einfach die f(x)-Werte also y-Werte, die ich erhalte, wenn ich den Definitionsbereich für x einsetze?

Zitat:
Die Bilder der Elemente der Definitionsmenge unter f. Und wie zuvor schon angemerkt ist f unbeschränkt, das heisst die rechte intervallgrenze ist .

Was ist nun die linke?

Spoiler: Sie hat was mit (1/e)^(1/e) zu tun. Aber warum eigentlich? Bisher wissen wir ja nur, dass 1/e eine mögliche Extremstelle ist. Aber weder ist klar, ob sie wirklich eine ist (x³ -> 0)


Warum (x³->0) ?

Zitat:
noch, dass wenn sie eine ist, dass es sich dann auch um ein absolutes Extremum handelt.
Und dann wäre da noch zu schauen was am linken Rand des Definitionsbereichs, d.h. bei x=0 passiert und ob vielleicht f(0)<f(1/e)...

Es bleibt noch viel zu tun Lehrer


f(0) ist sie nicht definiert, was soll dann da passieren?
cheshire Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
sind es nicht einfach die f(x)-Werte also y-Werte, die ich erhalte, wenn ich den Definitionsbereich für x einsetze?

Abgesehen davon, dass man in eine derartige Funktion formal nicht einfach "den Definitionsbereich einsetzen" kann, stimmt deine Auffassung schon. Da aber dein Vorschlag ]0,(1/e)^(1/e)[ aber so absurd war, kamen mir Zweifel, dass du weist, worum es geht.

Ich veranschauliche was dir fehlt mal an folgendem Beispiel.
Es sei auf den positiven reelen Zahlen (x>0)



Und die Frage ist, welchen Wertebereich diese Funktion hat. Offensichtlich ist die Antwort ]0,oo[.

Du hast bisher gezeigt: Bei x=1 ist eine mögliche Extremstelle. Daraus folgerst du, dass ]0,f(1)=1] der Wertebereich ist. Seltsam? Ja, ziemlich seltsam. Es geht los damit, dass nicht jede mögliche Extremstelle auch eine wirkliche ist. Daher der Verweis auf x³ an der Stelle 0, wo ebenfalls die erste Ableitung verschwindet, aber kein Extremum vorliegt. Erster Punkt.

Zweiter Punkt: Angenommen nun, die Funktion oben sei ein bisschen anders gestrickt und hätte jetzt tatsächlich in 1 ein Extremum, und zwar ein Minimum, und tun wir mal so als sei außerhalb einer kleinen Umgebung von x=1 die Funktion gleich f. Dann wäre falsch zu sagen dass der Wertebereich [f(1)=1,oo[ ist, obwohl bei 1 das einzige Minimum liegt. Aber ein Minimum ist eben nicht notwendigerweise die Stelle, an der eine Funktion ihre kleinsten Werte annimmt. Im Falle von f ist das nämlich nahe x=0 der Fall, so dass der Wertebereich ]0,oo[ ist.

Was heisst das für dich?

1. Zeigen, dass bei 1/e ein echtes Minimum vorliegt -> Zweite Ableitung, Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung, was auch immer dir gefällt.

2. Zeigen, dass nicht noch kleinere Werte angenommen werden. Wenn du zeigst, dass f(0)>f(1/e), dann ist bei 1/e notwendigerweise auch ein globales Minimum. f(0) existiert hier zwar nicht, lässt sich aber stetig fortsetzen und via l'hopital ausrechnen.

Alles klar?
Falls nicht, so wie nach meinem vorigen Post, dann schreib nicht sofort hin, was immer noch nicht klar ist, sondern setz dich mal ne halbe Stunde hin und lass dir die Posts dieses Threads durch den Kopf gehen. Das hilft dir nachhaltiger als hier Schritt für Schritt alles vorgekaut zu bekommen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja Freunde von der Post.
--------------------------------------------------------
@chesire: es ist hier üblich, und speziell nach einem längeren Thread, der von einer Person geführt wurde, sich mit posts zurückzuhalten.

es ist ja alles richtig was du geschrieben hast, und wäre gegen Ende auch von mir angesprochen worden.

Mit den Unsicherheiten des Fragestellers muss aber vorsichtig umgegangen werden.
Die Wertemenge muss erst mal per se festgelegt werden. Danach kommen die Zusatzfragen.
---------------------------------------------------

An den Fragesteller: das relative Minimum ist nun bekannt. Das ist der offensichtliche Tiefpunkt in der Zeichnung.
Links vom Tiefpunkt gehen die Werte hoch ( ohne Beweis ) rechts gehen sie ins unendliche.

Was ergibt sich daraus als Wertemenge?
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

also von der zeichnung her würde ich sagen:


da die zeichnung links vom TP bei 0 aufhört und rechts vom TP wie gesagt ins Unendliche geht...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie rätselhaft? Probleme mit den Augen?

wo gibt es zum Beispeil y-Werte für

siehst du da y-Werte?


Studierst du etwa Mathematik?? meine Geduld nähert sich grenzwertig zu Null. Augenzwinkern
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich idiot ... Hammer

links vom TIP gehen die y Werte hoch gegen 1 und rechts ins unendliche
also würde ich sagen, dass der kleinste y-Wert der TIP ist und der größte ist
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so ungefähr.

Falls du das Ganze noch vertiefen willst, seien dir die Beiträge von "chesire" zur Lektüre empfohlen.
KönigsHaki Auf diesen Beitrag antworten »

danke!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sehr nett,dass du dich nochmals meldest.

Gern geschehen im Namen der Beteiligten smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »