goniometrische Gleichung

17.02.2012, 11:04

Christian_P

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goniometrische Gleichung

diese Gleichung möchte ich lösen

$\begin{eqnarray*} \sec{x}+\csc{x}=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sec{x}=\frac{1}{\cos{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \csc{x}=\frac{1}{\sin{x}} \end{eqnarray*}$

dann hab ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos{x}}+\frac{1}{\sin{x}}=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

So, nun habe ich mir in mühevollder Arbeit eine Zeichnung der Kurven $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{\cos{x}}+\frac{1}{\sin{x}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ angefertigt,

und bin auf folgende Lösungsmenge gekommen.

$\begin{eqnarray*} L=\left\{\frac{1}{4}\pi+k\frac{2}{3}\pi\quad k \in \mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} 45^\circ \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\pi \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Gleichung ist, konnte ich im nachhinein folgendermaßen sichern:

$\begin{eqnarray*} \cos{45^\circ}=\sin{45^\circ}=\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Dies eingesetzt in die Gleichung ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und dann nach Umformung eine wahre Aussage, d.h. bei $\begin{eqnarray*} 45^\circ \end{eqnarray*}$ kann es nur einen Schnittpunkt der Kurven geben. Dies ergab sich nämlich nicht eindeutig aus der Zeichung der Kurven.

Ohne Porbieren wäre ich jetzt aber nicht auf die Lösungsmenge gekommen (ist sie vollständig?), ich habe keinen anderen Weg gesehen, als meinen Taschenrechner zu quälen und zu zeichnen. Gibt es einen direkteren bzw. einfacheren Weg, die Gleichung zu lösen?

liebe Grüße Wink

Wink

17.02.2012, 21:51

Mathe-Maus

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RE: goniometrische Gleichung
Eine Lösung:

1) Mit sinxcosx multiplizierren.
2) Beide Seiten quadrieren.
3) Quadratische Gleichung lösen.

Ein Schnittpunkt ist dann bei x=45°.

LG Mathe-Maus

17.02.2012, 22:24

original

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RE: goniometrische Gleichung

Zitat:

Original von Mathe-Maus

1) Mit sinxcosx multiplizierren.
2) Beide Seiten quadrieren.
3) Quadratische Gleichung lösen

kleine Ergänzung zu dem sehr guten Vorschlag:

mit der Substitution u= sin(2x) sieht die quadratische Gleichung ja so aus:

2u^2 - u - 1 = 0

und mit den beden Lösungen u1=1 und u2= - 0,25 ergibt sich dann die
Möglichket Lösungen sofort leicht zu finden :

a) sin(2x) = 1 ... -> x = .. , .. , .. , usw..
b) sin(2x)= - 0,25 ... -> x = .. , .. , .. , usw..
wobei dann noch kontrolliert werden sollte, ob all die Lösungen auch
Lösungen für die Ausgangsgleichung sind...
smile

smile

17.02.2012, 22:30

Mathe-Maus

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RE: goniometrische Gleichung
JA, man kann u=sin(2x) substituieren.
Ich hatte sinxcosx substituiert.

Kommt im Endeffekt auf das Gleiche raus .... Prost

Prost

Achtung: Bei Deinem b) müsste es heißen: sin(2x)= -0,25

17.02.2012, 22:43

original

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RE: goniometrische Gleichung

Zitat:

Original von Mathe-Maus
JA, man kann u=sin(2x) substituieren.
Ich hatte sinxcosx substituiert.

Kommt im Endeffekt auf das Gleiche raus .... Prost

Prost

Achtung: Bei Deinem b) müsste es heißen: sin(2x)= -0,25

- ja klar, hab Achtung smile

smile

und hab das oben schnell korrigiert - danke

- im Endeffekt Prost

Prost

kam es mir noch darauf an, oben dezent darauf hinzuweisen,
dass längst nicht alle mit sin(2x) oder egal mit sin(x)cos(x) gefundenen "Lösungen"
auch tatsächlich Lösungen der Aufgabe sind (dachte mir, der Fragesteller denkt dann
"warum wohl"? und "welche?")
.

18.02.2012, 12:13

Christian_P

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Danke für die Tipps!
Die Idee ist wirklich super!

Ich bin auf diese Gleichung gekommen

$\begin{eqnarray*} 0=\sin^2{(2x)}-0,5\sin{(2x)}-0,5 \end{eqnarray*}$

mit den zwei Lösungen:

$\begin{eqnarray*} \sin{(2x)}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin{(2x)}=-0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin{z}=1 \quad\quad z=90^\circ \quad\quad2x=90^\circ \quad\quad x=45^\circ \end{eqnarray*}$
eindeutige Lösung, die alle 360° wieder auftritt.

nächste Lösung

$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5\quad\quad z=-30^\circ \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} \sin{z}<0 \end{eqnarray*}$ müssen die Hauptwerte im III und IV Quadranten liegen.

$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5 \quad\quad z_1=30^\circ+180^\circ=210^\circ \quad\quad z_2=360^\circ-30^\circ=330^\circ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=210^\circ \quad\quad x=105^\circ \rightarrow \text{keine Lösung} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=330^\circ \quad\quad x=165^\circ \end{eqnarray*}$
ebenfalls eine Lösung, die alle 360° wieder auftritt.

$\begin{eqnarray*} L=\left\{45^\circ+k\cdot360^\circ;165^\circ+k\cdot 360^\circ\quad k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{45^\circ+k\cdot120^\circ \quad k\in\mathbb{Z} \right\} =\left\{ \frac{1}{4}\pi+k\cdot\frac{2}{3}\pi \quad k\in\mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$

PS: Es wäre nett, wenn ihr ein bisschen mehr Gebrauch von LaTeX machen könntet, ich denke von vorgeschritteneren Matheboard Usern und Helfern könnte man das schon erwarten.

Grüße Wink

Wink

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18.02.2012, 12:36

Mathe-Maus

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RE: goniometrische Gleichung
Bei mir ist die 2. Lösung sin(2x) = -0,25 , d.h. der 2.Winkel = -15°.

Setz mal bitte die Lösung für den 2.Winkel in die Ausgangsgleichung ein und mache die Probe ...

LG Mathe-Maus Wink

Wink

@Christian: Zu Deinem PS wegen Latex. Bei solch einfachen Formeln/Texten bin ich zu faul für Latex und des abends nach mehreren leckeren Whisky kann ich zwar noch Matheproblemchen lösen, aber das mühselige Latex nicht mehr ... Koordinationsprobleme mit Fingern und Tasten ... Big Laugh

Big Laugh

18.02.2012, 13:06

Christian_P

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Hallo

smile

Da muss ich dir leider wiederprechen:

siehe plot der Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} -15^\circ \approx -0,262 \text{ rad} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist kein Schnittpunkt vorhanden, darum kann $\begin{eqnarray*} x\approx-15^\circ \end{eqnarray*}$ keine Lösung der Gleichung sein.

PS: sei nicht so faul! smile

smile

18.02.2012, 15:35

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Christian_P
$\begin{eqnarray*} 0=\sin^2{(2x)}-0,5\sin{(2x)}-0,5 \end{eqnarray*}$

mit den zwei Lösungen:
$\begin{eqnarray*} \sin{(2x)}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin{(2x)}=-0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin{z}=1 \quad\quad z=90^\circ \quad\quad2x=90^\circ \quad\quad x=45^\circ \end{eqnarray*}$
eindeutige Lösung, die alle 360° wieder auftritt.

nächste Lösung
$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5\quad\quad z=-30^\circ \end{eqnarray*}$

nächste Lösung
$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5\quad\quad z=-30^\circ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=z \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x= -15^\circ \end{eqnarray*}$

In diesem Fall jedoch ist es der Schnittpunkt mit der Geraden $\begin{eqnarray*} y=-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Und ja, -15°=-0,26 ist kein Schnittpunkt mit der Geraden $\begin{eqnarray*} y=+2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , damit entfällt diese Lösung.

ABER 180°-15°=165° = 2,87 und hier haben wir wieder einen Schnittpunkt.

Fazit: Schnittpunkte bei 45° und 165° ... plus natürlich nachfolgende ...

LG Mathe-Maus Wink

Wink

18.02.2012, 16:48

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Christian_P

nächste Lösung
$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5\quad\quad z=-30^\circ \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} \sin{z}<0 \end{eqnarray*}$ müssen die Hauptwerte im III und IV Quadranten liegen.

$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5 \quad\quad z_1=30^\circ+180^\circ=210^\circ \quad\quad z_2=360^\circ-30^\circ=330^\circ \end{eqnarray*}$

Bezüglich der Hauptwerte im III und IV. Quadranten stimme ich Dir bei Sinusfunktionen zu.
Wir haben hier jedoch ein kombinierte Funktion mit Sinus- und Cosinusbestandteilen, daher würde ich die Betrachtung der Quadranten nicht so sehen ... passt ja im Endeffekt auch nicht.

------------------------------

$\begin{eqnarray*} \sin{z}=-0,5 \quad\quad z_1=30^\circ+180^\circ=210^\circ \quad\quad z_2=360^\circ-30^\circ=330^\circ \end{eqnarray*}$

Für mich auch nicht mathematisch nachvollziehbar, dass Du aus einem negativen Wert ganz fixmal einen positiven Wert machst. (Aus einem negativen Kontostand wird ein positiver, weil´s besser in die Philosophie passt ...) verwirrt

verwirrt

LG Mathe-Maus Prost

Prost

18.02.2012, 17:05

Leopold

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Man kann die Aufgabe auch anders lösen. Der Anfang geht gleich. Man kommt durch Äquivalenzumformungen auf

$\begin{eqnarray*} \sin x + \cos x = 2 \sqrt{2} \, \sin x \cos x \end{eqnarray*}$

Der linke Term kann als $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \, \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{eqnarray*}$ , der rechte als $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \, \sin(2x) \end{eqnarray*}$ geschrieben werden. Damit erhält man äquivalent:

$\begin{eqnarray*} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin(2x) \end{eqnarray*}$

Nun gilt aber:

$\begin{eqnarray*} \sin u = \sin v \ \ \Leftrightarrow \ \ u-v \equiv 0 \pmod{2 \pi} \quad \text{oder} \quad u+v \equiv \pi \pmod{2 \pi} \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 11:34

Christian_P

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@Mathe-Maus: Welche Philosiphie Erstaunt2

Erstaunt2

Kann sein, dass ich es nicht 100%ig richtig aufgeschrieben habe, aber so komme ich auf alle möglichen Ergebnisse. Ich hätte es auch bei -30° belassen können, aber ich möchte diesen negativen Winkel in eine Winkel im mathematisch positiven Sinn (mathematische Zählrichtung), also in einen positiven Winkel umwandeln. Der negative Sinus-Wert hat zwei zugehörige Winkel im III und IV Quadranten, die aber beide im positiven Sinne geschrieben werden sollen. Deswegen einmal 180°+30°=210° (wäre verlorengegangen, ist aber keine Lösung), der liegt im III Quadranten und einmal 360°-30°=330° (entspricht den -30°), der liegt im IV Quadranten und beide sind mathematisch positiv, wie ich es wollte. Das sieht im Endergebnis einfach besser aus, finde ich. Grüße Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hi Leopold

$\begin{eqnarray*} \sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$
Warum kann man diesen Term so interpretieren?

Die Modulo-Rechnung verstehe ich leider nicht ganz.

Grüße

19.02.2012, 15:14

Leopold

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Jede Linearkombination von Sinus und Cosinus, also jeder Term der Art $\begin{eqnarray*} a \cdot \sin x + b \cdot \cos x \end{eqnarray*}$ , kann als Sinusschwingung geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = A \cdot \sin \left( x + B \right) \end{eqnarray*}$

Siehe z.B. hier.

Und die Sache mit der modulo-Rechnung ist nur eine abkürzende Schreibweise für den folgenden Sachverhalt:

$\begin{eqnarray*} \sin u = \sin v \ \ \Leftrightarrow \ \ u - v = 2k \pi \ \ \text{oder} \ \ u+v = (2l+1) \pi \ \ \text{mit} \ k,l \in \mathbb{Z} \ \text{geeignet} \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 19:04

Christian_P

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So richtig durchschauen kann ich das nicht Erstaunt1

Erstaunt1

Ich sehe da keinen Zusammenhang. Ich nehme das erstmal so hin.

Danke für den Tipp.

Grüße

20.02.2012, 19:40

Leopold

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Selbst wenn du keinen Weg findest, die Formel

$\begin{eqnarray*} \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{eqnarray*}$

herzuleiten, so kannst du sie jedoch zumindest nachträglich verifizieren. Beginne mit der rechten Seite und verwende das Additionstheorem des Sinus. Das ist schon beinahe alles.

Und die andere Geschichte, nämlich aus $\begin{eqnarray*} \sin u = \sin v \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zu schließen, ist nichts anderes als die Umkehrproblematik des Sinus (Einheitskreis, Periodizität). Hier ist natürlich $\begin{eqnarray*} u = x + \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = 2x \end{eqnarray*}$ .

21.02.2012, 15:00

Christian_P

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Im plot habe ich es nachvollziehen können:
Wenn ich sin(x) und cos(x) addiere, dann ist die Sinuskurve um 90°/2, also pi/4 nach links verschoben.

Das entspricht der Transformation $\begin{eqnarray*} x=\acute x -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Dann muss die Kurve noch um den Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gestreckt werden.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ scheint der Funktionswert der Extrema der Kurve $\begin{eqnarray*} y=\sin(x)+\cos(x) \end{eqnarray*}$ zu sein.

Beim anderen Problem würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} \sin(u)=\sin(v)\Rightarrow u=v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=x+\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ergibt aber nur $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ als Lösung.

Da habe ich jetzt gerade keine weitere Idee.

Gruß

21.02.2012, 15:39

Leopold

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Was wir schon haben:

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \underbrace{x + \frac{\pi}{4}}_{u} \right) = \sin \left( \underbrace{2x}_{v} \right) \end{eqnarray*}$

Wann sind nun zwei Sinuswerte gleich? Nehmen wir erst einmal das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ . Dort gilt $\begin{eqnarray*} \sin u = \sin v \end{eqnarray*}$ natürlich, wenn $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ u = v \end{eqnarray*}$ ist, aber auch wenn $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ v = \pi - u \end{eqnarray*}$ ist (siehe Definition am Einheitskreis). Jetzt kann man zu Lösungen aber noch beliebige ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ addieren und erhält damit weitere Lösungen. Das bringt man mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} + 2 k \pi \end{eqnarray*}$ zum Ausdruck.

Zurück zur Aufgabe. Darauf angewandt erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ x + \frac{\pi}{4} = 2x + 2 k \pi \end{eqnarray*}$

Und nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} - 2 k \pi \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ alle ganzen Zahlen durchläuft kann man gleichwertig auch

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \end{eqnarray*}$

sagen. Das ist die erste Sorte von Lösungen. Jetzt bestimme analog die Lösungen von der Sorte $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ .

21.02.2012, 17:46

Christian_P

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ok:

$\begin{eqnarray*} v=\pi-u \quad \quad 2x=\pi - \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \quad \quad 3x=\frac{3}{4}\pi \quad \quad x=\frac{1}{4}\pi \end{eqnarray*}$

und wegen der Periodizität $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4}\pi+2k\pi \end{eqnarray*}$

Habe ich etwas falsch gemacht, weil ich wieder auf die gleiche Lösung gekommen bin?

Danke für die Unterstützung! smile

smile

21.02.2012, 17:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Christian_P
Habe ich etwas falsch gemacht, weil ich wieder auf die gleiche Lösung gekommen bin?

Ja: Du hast die Periode $\begin{eqnarray*} 2k\pi \end{eqnarray*}$ erst nach der Division durch 3 in die Formel "reingehievt" - warum? Das ist der falsche Zeitpunkt. unglücklich

unglücklich

Richtig ist also, dies gleich zu Beginn des Falles zu tun, also

$\begin{eqnarray*} 2x=\pi - \left(x+\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi \end{eqnarray*}$ .

22.02.2012, 14:49

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} 2x=\pi - \left(x+\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi \end{eqnarray*}$

hier von ausgehend komm ich auf die vollständige Lösung

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4}\pi+k\frac{2}{3}\pi\quad\quad k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Wunderbar!

danke für den Hinweis Wink

Wink

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