2 Dimensionale Basis im R3

17.02.2012, 14:52

frodo123

2 Dimensionale Basis im R3

Meine Frage:
Hallo habe eine Verständis Frage:

Habe von einer R^3x3 Matrix eine 2 Dimensionale Basis erhalten.
Die ja linear unabhängig sind.
Wie sieht dann eine orthonormal Basis bezüglich der 2 Basen aus.
Es kann ja kein Raum aufgespannt werden da nur 2 Dimensional.

Meine Ideen:
Wenn ich daraus eine orthonormal Basis bilde erhalte ich doch eine Ebene(also ein quadrat mit dem Flächeninhalt 1)im R^3?!

Kann ich dann beliebige orthonormal Basen bezüglich den Achsen wählen z.b
(0,0,1) und (1,0,0)?

oder

(0,1,0) mit (1,0,0)

danke schonmal,

17.02.2012, 14:57

Cel

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Hallo,

zunächst mal einige sprachliche Sachen: Eine Matrix hat keine Dimension, Vektorräume haben eine. Wahrscheinlich meinst du einen Raum von Matrizen. Warum spannen zwei Vektoren keinen Raum auf? Das tun sie, nämlich einen 2-dimensionalen Unterraum (oder einen eindimensionalen, sollten sie linear abhängig sein).

Du hast also einen Vektorraum, der ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3 \times 3} \end{eqnarray*}$ ist und suchst eine Orthonormalbasis. Zwei Vektoren, linear unabhängig hast du schon mal. Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren kannst du nun eine ONB finden. Nur brauchst du dafür auch eine Norm, die in der Aufgabe angegeben sein muss.

Lade am besten mal die ganze Aufgabe als Bild hoch.

17.02.2012, 15:24

frodo123

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RE: 2 Dimensionale Basis im R3
Die Abbildungsmatrix lautet:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Fall a=2 soll eine ONB des Verktorraumes erstellt werden.

Habe diese dann transponiert und per Gauß auf Zeilenstuefnform gebracht.

Habe dann (2,2,0)T und (0,2,2)T als Basis herausbekommen.

Hab jetzt den ertsten Vektor normiert und den zweiten mit Gramschmidt berechnet ich bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{8} }\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{6} }\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der vektoraum ist doch jetzt eine ebene also ein quadrat oder?

18.02.2012, 11:10

Cel

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RE: 2 Dimensionale Basis im R3

Zitat:

Original von frodo123
Die Abbildungsmatrix lautet:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Fall a=2 soll eine ONB des Verktorraumes erstellt werden.

Wie? Was? Von welchem Vektorraum? Und was hat das mit der Matrix zu tun? Poste doch mal bitte die Aufgabe als Screenshot, ich versteh gerade nur Bahnhof, was du da machst.

18.02.2012, 18:32

frodo123

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RE: 2 Dimensionale Basis im R3
Hier die Aufgabe im Anhang

18.02.2012, 18:35

frodo123

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RE: 2 Dimensionale Basis im R3
Mit Vektorraum meinte ich den span den die Spalten der Matrix aufspannen

18.02.2012, 19:46

Cel

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RE: 2 Dimensionale Basis im R3

Zitat:

Original von frodo123
Die Abbildungsmatrix lautet:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe diese dann transponiert und per Gauß auf Zeilenstuefnform gebracht.

Habe dann (2,2,0)T und (0,2,2)T als Basis herausbekommen.

Hab jetzt den ertsten Vektor normiert und den zweiten mit Gramschmidt berechnet ich bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{8} }\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{6} }\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der vektoraum ist doch jetzt eine ebene also ein quadrat oder?

Dann ist das alles richtig (habe das nicht nachgerechnet, aber der Logik der Aufgabe folgt es).

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