Eigenwertaufgaben : Stabilitätssatz

17.02.2012, 21:30	Residium	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertaufgaben : Stabilitätssatz Meine Frage: Servus! Im Anhang befindet sich der Satz, wessen Sinn ich leider nicht entziffern kann. Kann jemand den Satz erklären : wozu dieser Satz gut ist? Was besagt er? Danke im voraus! Meine Ideen: hmm...
18.02.2012, 01:10	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwertaufgaben : Stabilitätssatz Naja, wenn ich das um diese Uhrzeit noch richtig sehe , dann besagt der Satz doch, dass die Eigenwerte gestörter Matrizen nahe bei den Eigenwerten der ungestörten Matrizen liegen, d.h. Eigenwerte in gewissem Sinne stabil sind - und es sagt dir WIE gestört sie sind. Im Klartext: Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Matrix und $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ eine leicht gestörte Matrix, z.B. $\begin{eqnarray} \tilde{A}=A+\varepsilon B \end{eqnarray}$ wo B eine Matrix mit $\begin{eqnarray} \\| B\\|_2=1 \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Ich stelle mir Beispielsweise gerundete Zeilen vor. Dann sagt dir der Satz, dass es zu jedem Eigenwert von A einen von $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} \|\lambda(A)-\lambda(\tilde{A})\|\leq \mathrm{cond}(W)\varepsilon \end{eqnarray}$ wobei diese W-Matrix über die Eigenvektoren gewonnen wird, d.h. kleine Störungen führen zu kleinen Änderungen der Eigenwerte solange die Matrix W vernünftig konditioniert ist. Das hieße dann im Umkehrschluss, dass man sich überlegen sollte, in welchen Fällen die Matrix, die aus den Eigenvektoren gewonnen wird, nicht gut konditioniert ist. Gruß MI
19.02.2012, 19:34	Residium	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwertaufgaben : Stabilitätssatz Danke sehr für deine ausführliche Antwort! Also, ich versuch mal kurz zusammenzufassen, was ich aus deiner Interpretation verstanden hab : Die Eigenwerte zur Originalmatrix gestörter Matrizen bleiben stabil im Bezug auf Eigenwerte der Originalmatrix. Stabil heisst, dass die Änderung der Originalmatrix eine messbare und proportionale Änderung der Eigenwerte mitbringt. Die Eigenwertstörung ist dabei nach oben beschränkt durch die Norm der Differenz von A und B, sowie Kondition der von Originalmatrix A induzierten Matrix W. Damit diese Eigenwertstörung minimal ausfällt, sollte die Originalmatrix gut konditioniert sein, d.h im Idealfall cond(A)=1. Ist es ok so?

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