Hessesche Normalenform, Abstand eines Punktes zu einer Ebene

17.01.2007, 21:24

Osnabrücker

Hessesche Normalenform, Abstand eines Punktes zu einer Ebene

Hallo!
Ich muss unbedingt zu Freitag diese Aufgabe lösen:

Gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Bestimme einen Punkt P, der auf g liegt und von E den Abstand 6 hat.

Der Weg zur Lösung muss zwangsläufig über die hesse'sche Normalenform führen. Diese soll ich im Nachhinein dann anhand dieser Aufgabe erklären.

Ich habe das schon einmal durchgerechnet, aber das Ergebnis passte bei mir dann GAR NICHT. Ich finde einfach meinen Fehler nicht. Wär super, wenn mir einer von euch helfen könnte.

Danke schonmal,

Der Osnabrücker

17.01.2007, 21:57

Primzahl

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Das kommt eigentlich zur geometrie, aber was hast du als lösung raus?
ich komme nämlich auch nicht auf 6, sondern 16/6 verwirrt

den eigentlich müsste ja jeder punkt auf der geraden den selben abstand zu ebene haben, wie z.B der ortsvektor von g.

17.01.2007, 22:29

Matheass

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die Ebene und die Gerade sind parallel? erklär mir des mal

18.01.2007, 07:12

Osnabrücker

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Nein, das ist es ja, die Ebene und die Gerade sind eben nicht parallel. Die Gerade schneidet die Ebene irgendwo... Ich würde jetzt die Ebene parallel verschieben (also statt der 2, die ich dann in der hesseschen Form der Ebene habe, eine 8 einsetzen), sodass der Schnittpunkt der Geraden mit eben DIESER verschobenen Ebene dann der Punkt sein muss, der 6 von der Ausgangsebene entfernt ist. Aber da kommt dann bei mir nur mist raus. Wenn ich das dann errechnete y wieder in die Geradengleichung einsetze hatte ich 56 oder so und all so einen Mist, aber auf jeden Fall nicht wieder 8 raus, so dass die Gleichung erfüllt wäre. Wie gesagt: Ich bin verzweifelt!
Bitte helft mir!

18.01.2007, 08:45

Primzahl

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ahh jetzt versteh ich die aufgabe. soweit ich deinen lösungsansatz verstanden habe stimmt das nicht. du wolltest doch bei der $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ koordinate des normalenvektors einfach 8 einsetzen, aber damit veränderst du ja die ebene. der muss aber von der ebene die schon da ist den abstand haben.

spontan, ohne es ausprobiert zu haben, würde ich es mit einem gleichungssystem probieren.
einfach die geradengleichung in die HNF einsetzen, um y rauszukriegen. du weißt ja das d=6 ist. den ortsvekto und den normalenvektorr der ebene kennst du auch. wenn du y raus hast in die geradengleichung einsetzen und schon hast du deinen punkt.

18.01.2007, 11:31

riwe

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RE: Hessesche Normalenform, Abstand eines Punktes zu einer Ebene

Zitat:

Original von Osnabrücker
Hallo!
Ich muss unbedingt zu Freitag diese Aufgabe lösen:

Gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Bestimme einen Punkt P, der auf g liegt und von E den Abstand 6 hat.

Der Weg zur Lösung muss zwangsläufig über die hesse'sche Normalenform führen. Diese soll ich im Nachhinein dann anhand dieser Aufgabe erklären.

Ich habe das schon einmal durchgerechnet, aber das Ergebnis passte bei mir dann GAR NICHT. Ich finde einfach meinen Fehler nicht. Wär super, wenn mir einer von euch helfen könnte.

Danke schonmal,

Der Osnabrücker

$\begin{eqnarray*} \frac{-4(-3-t)+4(-1+3t)+2(2+10t)-12}{6}=\pm6 \end{eqnarray*}$

genügt das verwirrt

die HNF sollte dir ja hinreichend geläufig sein Big Laugh