Lineare Abbildung und Basis bestimmen

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Fil Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung und Basis bestimmen
Hallo, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Die Vektoren seien gegeben durch



Ferner seien gegeben durch



Und dazu diese Fragen:

a)Zeigen sie, dass es genau eine Abbildung gibe mit .

b) Berechne dim(ker)() und dim(Im)() und geben sie eine Basis von ker() und Im() an.

c) Berechnen sie

So zu a) hab ich mir gedacht, dass ich eine 3x4-Matrix A finden muss, so dass z.B. folgendes gilt:



und dies mit allen 4 Vektoren. Kann man dies so machen?
Wenn ich diese Matrix habe brauche ich sie für c) eigentlich doch nur vor den entspechenden Vektor setzen und ausrechnen, oder?

Für b) bin ich am unsichersten: Reicht es aus wenn ich für dim(ker)() ausrechne Ax = 0 und dann dim(Im)() = 4 - dim(ker)()?
Bei der Basis für beides stehe ich gerade auf dem Schlauch.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn , also die eine Basis des Vektorraums sind, ist a) klar : Zu einer Basis von V gibt es genau eine lineare Abbildung mit vorgegebenen Bildern.
Die zu f gehörige Darstellungsmatrix A enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren. Alles weitere ist Rechnen.
Fil Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da bis linear unabhängig sind bilden sie sie eine Basis des . Und da ich die Bilder angegeben hab, brauche ich also nicht rechnen, da die Abbildung immer eindeutig bestimmt ist?

Zitat:
Die zu f gehörige Darstellungsmatrix A enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren. Alles weitere ist Rechnen.


Wenn ich das richtig verstehe sind ja die Bilder der Basisvektoren, so dass die Matrix wäre.

Wenn ich jetzt aber rechne erhalte ich nicht .

Überseh ich etwas oder hab ich das falsch verstanden?
Schildhuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c reicht es doch zu sagen : Da die Abbildung p linear ist gilt

p((x_1)*v_1+...+(x_4)*(v_4))=x_1*p(v_1)+...+x_4*p(v_4)=x_1*w_1+...+x_4*w_4

kann sein dass ich mich irre aber damit geht es doch viel einfacher

jetzt musste nurnoch x_1...x_4 finden und das kannst ja einfach mit nem LGS lösen.

EDIT: zu deiner frage , A*v1 ergibt ja auch wenig Sinn (guck ma was du da dann rechnest)
Aufgrund der Gesetze für lineare abbildungen gilt ja p(x*v_1)=x*p(v_1)=in dieser aufgabe= w_1
wenn du nun also deine Matrix A hast die soweit richtig ist muss du sie mit den Parametern der Linearkombination des Vektors multiplizieren (die du mithilfe der 4 Basen{v_1...v_4} und eines LGS findest)
wenn du also p(v_1) mithilfe deiner Matrix finden willst musst du gucken wie v_1 durch die basen gebildet wird und das wäre dann v_1=1*v_1+0*v_2....+0*v_4
daraus folgt dann A*(1,0,0,0)^T ist w_1
LG
Fil Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich glaub jetzt hab ichs:

für die c)
also ich suche im Prinzip ein x, so dass . Und mit diesem x rechne ich Ax, wobei A die Matrix mit ist.

Um nochmal auf die b) zu kommen:
Ich hab jetzt noch ein wenig nachgeschaut und gelesen, dass der Rang der Darstellungsmatrix = der Dimension des Bildes der Abbildung ist, also .
Den Rang bestimme ich ja, wenn ich die Matrix in zeilenreduzierte Stufenform bringe. Sind dann die Nichtnull-Zeilen auch gleichzeitig die Basisvektoren von Im()?
Sind dann dementsprechend die Basisvektoren von kern() diejenigen, die zur Nullzeiile wurden? (wobei ich das gefühl hab, dass das keinen Sinn macht verwirrt )
Schildhuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Hier sollte nochmal jemand drüberlesen der wirklich Ahnung hat (ich bereite mich grade auf die LA 1 Prüfung vor und bin deswegen schon im Stoff aber wirklich Ahnung hab ich auch nicht)

Aber zu deiner Frage: wenn du bei den w_1....w_4 3 lu Vektoren findest und diese bennenst als b_1...b_3 dann lässt sich der Vektor w_j, 1<=j<=4 für den gilt w_j kein element von {b_1...b_3} ja annehmen das gilt dass x_1...x_4 existieren
s.d:
x_1*b_1+...+x_3*b_3=x_4*w_j

-> x_1*b_1+...+x_3*b_3+(-x_4)*w_j=0 also element des kerns

da auch gilt dass oBdA {b_1...b_3,w_j}={p(v_1)....p(v_4)} gilt also für alle ELemente ... jetzt musst du gucken für welche x_1...x_4 (als parameter der Linearkombination) gilt dass p(x_1*v_1+...+x_4*v_4)=0 gilt

LG
 
 
stoni111121 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch kein Experte hier, aber ein paar Gedanken:

Nur die ersten beiden Beiträge sind m.E. richtig.

a. Leider wirst du die Abbildungsmatrix ausrechnen müssen, denn du benötigst sie für c.). Die Zahlen werden allerdings unsympathisch. Aber die ersten Ansätze von Fil sind richtig. Das Ergebnis ist eine 3x4 Matrix A. Du kommst auf sie, indem du


auf ZSF bringst und zum Schluss die rechte Seite transponierst.


b. Diese Abbildungsmatrix bringe auf Zeilenstufenform, dann erkennst du an der Anzahl der l.u. Spalten sofort dim(ker) und dim(f).

c. multipliziere die Abildungsmatrix mit . Das Ergebnis sollte der Vektor sein.
Schildhuhn Auf diesen Beitrag antworten »

@stoni

bei a reicht es doch aus zZ dass die v_1...v_4 lu sind weil dann ist es eine Basis von V R^4 und wenn eine Abbildung für alle Basisvektoren definiert ist ist sie eindeutig

zu b reicht es doch aus zu zeigen dass w_1...w_4 ein erzeugenden system des R^3 sind bzw es 3 lu vektoren enthält, dann folgt aus der Tatsache dass für alle p(v) gilt das es linearkombinationen aus w_1 ...w_4 sind, dass die dim(bild(p)) = 3 ist. daraus folgt dann auch dass dim kern p = 1

und zu c reicht es zu sagen dass es für den vektor der da gegeben ist nur eine darstellung der form
v=x_1*v_1+...+x_4*v_4 und da p linear ist folgt dann
p(v)=p(x_1*v_1+...+x_4*v_4)=p(x_1*v_1)+...+p(x_4*v_4)=x_1*p(v_1)+...+x_4*p(v_4)
=x_1*w_1+...+x_4*w_4

das geht glaub ich wesentlich schneller und ist ebenso korrekt wie deine Lösung zumindest komme ich auf den selben Vektor wie du
stoni111121 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Schildhuhn: ja das klingt vernünftig! c.) war mir nicht klar, deswegen habe ich mit der Abbildungsmatrix hantiert.
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