Außerirdische am Werk?

04.07.2004, 13:25	Folliot	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerirdische am Werk? Außerirdische am Werk? Uns wurde folgende Aufgabe gestellt: Als es noch richtige Winter gab, war einmal der Möhnesee zugefroren. Eine Zeitung berichtete am Ende der Saison über ein erstaunliches Phänomen: Außerirdische am Werk? Seit der See zugefroren ist, hat es eine Menge Zusammenstöße zwischen Eisläufern gegeben. Beim Zählen der Zusammenstöße machte unser Korrespondent jedoch eine verblüffende Entdeckung: An jedem Tag war die Anzahl der Eisläufer, die mit einer ungeraden Zahl von Eisläufern zusammenstieß, gerade! Umfragen unter den Menschen auf dem Eis haben keinerlei Anhaltspunkte ergeben. Die Behörden schweigen sich aus. Trotz beharrlicher Nachfragen bei den örtlichen Ämtern weigerten diese sich standhaft Stellung zu dem Phänomen zu nehmen: Die Wasserpolizei dementierte jegliche Verdacht auf kriminelle Hintergründe. Die ansässigen Feuerwehren bestritten ihre Zuständigkeit. Lokale Politiker ließen sich verleugnen oder verwiesen auf Sonderkommissionen und strenge Geheimhaltungsvorschriften. Wissenschaftler der Universität Paderborn sind ratlos. Ihr auch? Ich weiss zu dieser Aufgabe keinen rechten Ansatz. Da der Übungszettel Graphentheorie behandelt wird wohl auch diese Aufgabe damit etwas zu tun haben... Ich habe mir überlegt, dass die Eisläufer wohl den Kanten und die Zusammenstösse den Knoten eines Graphen entsprechen. Demzufolge träfe dann stets eine gerade Anzahl von Kanten auf eine ungerade Anzahl von Knoten... Das bringt aber auch nicht weiter, kann mir jemand verraten wie man weiterkommt? Vielen Dank, Folliot
04.07.2004, 13:31	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das noch nicht zu Ende gedacht, aber wäre es nicht sinnvoller, die Eisläufer als Knoten zu modellieren und immer zwischen genau denen Kanten zu legen, die zusammengestoßen sind? Gruß vom Ben
04.07.2004, 13:48	Wolfskehl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Außerirdische am Werk? tja du warst leider etwas zu spät. ich wurde dazu verdonnert, lücken in die lösung zu machen, damit du auch selbst was überlegen musst. also editieren ich mal ein wenig. ist aber dann nicht schwer... --- hallo, das löst du am besten mit der grafentheorie und induktion. dabei sind die eisläufer die knoten und die zusammenstöße die kanten. wenn du z.b. als graf dann das haus vom nikolaus hast (sollte bekannte sein), dann stößt die spitze mit zwei andern zusmmen (also gerade), die zwei oberen ecken stoßen mit vier leuten zusammen (also auch gerade), die beiden unteren mit je zwei (also zwei knoten mit einem ungeraden grad) und die mitte falls das ein knoten ist, mit vier. man kann die mitte aber auch weg lassen. jetzt fängst du an mit der induktion. du willst für alle möglichen grafen zeigen, dass die zahl der knoten, von denen eine ungerade zahl von kanten abgeht, gerade ist. induktionsanfang: du hast genau zwei leute die zusammenstoßen. beide stoßen genau mit 1 person zusammen. also hast du zwei ungerade knoten (ich nenne es ungerade, wenn die zahl der abgehenden kanten ungerade ist). induktionsschritt: du überlegst dir, was passiert, wenn du einen knoten mit entsprechenden kanten hinzufügst. du fügst erst den knoten hinzu und dann nacheinander die kanten. beim hinzufügen der kanten gibt es vier möglichkeiten: 1. [_____] 2. [_____] 3. [_____] 4. [_____] beim hinzufügen des knoten selbst bleibt die zahl [_____] es ist also egal ob du einen knoten oder eine kante von diesem knoten hinzufügst. immer bleibt die zahl der ungeraden knoten gerade. sollten sich zwei kanten schneiden, so entsteht mit jedem schnittpunkt [_____] hoffe das war verständlich :-) --- bzw hoffe dass du damit trotzdem was anfangen kannst. sollte es dringend sein, schreib mir ne mail. das sehen die moderatoren dann nicht
04.07.2004, 13:58	Oudeis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Außerirdische am Werk? Huhu, ich habe mir das jetzt nicht aufgeschrieben und kann daher nicht wirklich garantieren, daß das stimmt, was ich denke, aber ich denke, Du kommst durch, wenn Du versuchst, folgende Behauptung: Sei M eine endliche Menge, und R eine nicht reflexive, symmetrische (zweistellige) Relation auf M. Dann ist die Anzahl derjenigen x aus M, für die {y aus M: xRy} von ungerader Kardinalität ist, gerade. zu beweisen, und dann als Beweisansatz Induktion nach der Anzahl n der Elemente von M machst (im Induktionsschritt n->n+1 schaust Du Dir dann die Einschränkung von R auf die Teilmenge der "ersten" n Elemente von M an und überlegst Dir, was sich fallweise durch Hinzunahme des letzten Elementes ändern könnte). Grüße, Oudeis
04.07.2004, 13:59	Wolfskehl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Außerirdische am Werk? hab ich eben schon ausgeführt :-)
04.07.2004, 14:21	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe hier mal zu bedenken, dass komplette Lösungen nicht unbedingt vorteilhaft sind (ausser wenn wir ein "Aufgabe-stellen-Lösung-abholen"-Forum werden wollen). Könntest du bitte Lücken in deine Lösung einfügen, Wolfskehl? Wir möchten doch, dass der Threadersteller auch ein wenig was selbst macht. Vielleicht kann er es ja mit deiner Hilfe dann selbst. Die Chance es selbst auszuführen möchten wir ihm doch nicht aberkennen.
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04.07.2004, 14:31	Wolfskehl	Auf diesen Beitrag antworten »
so besser? dazu gibt es ja die edit funktion wir könnten eine kommerzielle seite aufmachen... sofortlösungen...zum abholen...
04.07.2004, 18:10	Oudeis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Außerirdische am Werk? Huhu, noch ein zweiter Ansatz für den Ausgangsposter , auf daß er viel Spaß haben möge an seiner Aufgabe : Du kannst auch einfach die Aussage beweisen, daß für eine symmetrische nxn-Matrix A über dem Körper F_2, deren Hauptdiagonale nur Nullen enthält, stets gilt (1, ...., 1) A (1,.....,1)^t = 0 denn eine solche Matrix ist (...modulo 2! ...) die Adjazenzmatrix des Graphen, den ihr untersuchen sollt, und die angegebene Gleichung zu verifizieren ist ein Einzeiler. Ah, und die Verbindung der Gleichung zur Aufgabe herzustellen ist auch ein Einzeiler . Der ganze Beweis enthält dann also 1+1 = 0 ... äh: zwei, Zeilen. Grüße, Oudeis

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