Prüfen, ob Matrix die gegeben Vektoren abbilden kann

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Tsovet Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen, ob Matrix die gegeben Vektoren abbilden kann
Meine Frage:
Moin, ich habe die folgenden Vektoren gegeben:



Jetzt lautet die Frage: Gibt es eine Matrix M aus dem R4 mit M*v1=v2 , M*v2=v1 und M*v3=v4 ? Bei der Frage geht es weniger darum, diese Matrix genau anzugeben, man soll eher logisch übelegen.

Meine Ideen:
Die drei Vektoren der Bild- und Urbildmenge sind ja jeweils alle linear unabhängig, allerdings bin ich mir weder sicher, ob das überhaupt relevant für die Lösung ist und falls ja, ob diese Tatsache schon ausreicht.
Vielen Dank schonmal!
wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen, ob Matrix die gegeben Vektoren abbilden kann
Hi,

auch wenn es weniger darum geht, sie zu bestimmen, würde ich persönlich so rangehen:

1) Schreibe M*v1 = v2. Dann erhälst du das LGS



2) Mache das Gleiche mit M*v2 = v3 und M*v3 = v4.

Du hast dann 12 Gleichungen, um 16 Unbekannte zu bestimmen, was nicht eindeutig geht. Du kannst dir ja aber eine beliebige letzte Bedingung selbst stellen, z.B. M*v4 = v3 (was sich anbietet). Dann hast du 16 Gleichungen für 16 Unbekannte. Ist zwar ein sehr großes LGS aber wenn du es durchrechnest, kommst du auf eine Matrix, die obige Bedingungen erfüllt.

Die Antwort auf deine Frage ist also ja. Wie man allerdings durch reines argumentieren und ohne rechnen drauf kommt, wüsste ich grade spontan nicht. Hoff, es hilft dir trotzdem.

Gruß
Tsovet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen, ob Matrix die gegeben Vektoren abbilden kann
Ok danke. Aber ob die Unabhängigkeit der Vektoren damit was zu tun hat, weißt du auch nicht oder?
wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen, ob Matrix die gegeben Vektoren abbilden kann
Gerne. Nein da fehlt mir grad der Zusammenhang. Ich denke auch wie du bzw. bin mir sogar sicher, dass es einen gibt und das Ziel der Aufgabe nicht ist, 16 Gleichungen zu lösen, allerdings fehlt mir da wie gesagt grad der Gedanke dazu.
Schildhuhn Auf diesen Beitrag antworten »

theoretisch kann man ja sagen dass es für jede lineare Abbildung
p:V -> V; v->p(v) auch eine Abbildungsmatrix M*v=p(v) geben muss.

Außerdem gilt dass es genau eine Abbildung geben muss für die gilt
v_1->p(v_1)=v_2 ... und so weiter und am ende noch eine Bedingung die aber egal ist

ich hab das jetzt vielleicht nicht logisch sauber aufgeschrieben aber theoretisch sollte der Ansatz richtig sein falls ich mich nicht grob irre

EDIT und wenn die Vektoren da nicht lu sind hast du probleme mit den gesetzen der linearen Abbildungen wodurch der weg verbaut wird (und damit dann sicher auch die Aussage)
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