Teilmengen des R^4 Unterräume?

21.02.2012, 12:06

martinio

Teilmengen des R^4 Unterräume?

Hallo ,
bei der Wiederholung des Stoffes bin ich nochmal auf eine Aufgabe gestolpert die mir nicht ganz eindeutig ist:

Zitat:

Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume des R^4?

$\begin{eqnarray*} a) \left\{ \begin{pmatrix} w \\ x\\ y \\ z \end{pmatrix} | x=y , w=z \right\} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
zz. a) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition
b) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Skalaren
c) Null mzss Element dieser Menge sein

a) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z \\ y\\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w +z \\ x+y \\ x +y\\ w+z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w+w\\ x +x \\ x +x \\ w+w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2w \\ 2x \\ 2x \\ 2w \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \times \lambda = \begin{pmatrix} (\lambda \times w )\\ (\lambda \times x) \\ ( \lambda \times x ) \\ ( \lambda \times w ) \end{pmatrix}, z.B. \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \times 3 = \begin{pmatrix} 3w \\ 3x \\ 3x \\ 3w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} z \\ w \\ w \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ falls x=0, w=0, bzw. w=y=0, w=z=0 => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Naja... alles iwie witzlos und den sinn in der aufgabe sehe ich auch nicht wirklich, vll. mag mir da jmd. auf die sprünge helfen.

21.02.2012, 12:42

klarsoweit

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?

Zitat:

Original von martinio
a) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z \\ y\\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w +z \\ x+y \\ x +y\\ w+z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w+w\\ x +x \\ x +x \\ w+w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2w \\ 2x \\ 2x \\ 2w \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast da grundsätzlich was falsch verstanden. Du nimmst 2 Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z \\ y\\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese erfüllen jeweils die Bedingung, die an den Unterraum gestellt sind und sind somit Elemente des Unterraums. Es ist jetzt aber nicht w=z bzw. x=y. Wenn du 2 beliebige Elemente des Unterraums hernimmst, können die durchaus verschieden sein.

21.02.2012, 12:49

martinio

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?
hey danke für die antwort, dann reicht also das hier schon aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z \\ y\\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w +z \\ x+y \\ x +y\\ w+z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber woher weiß ich dann überhaupt, dass mein "neues" Element , dass durch die Verknüpfung geschaffen wir wieder im Unterraum liegt? Wenn dieser nur auf eine bestimmte Anzahl an Elementen definiziert ist, z.b,

$\begin{eqnarray*} U := \left\{ -1,0,1\right\} \end{eqnarray*}$ was ist mit den Elementen 1+1 = 2 oder -1 + (-1) = -2 ? Diese liegen nicht mehr in der Menge. Woher weiß ich also, dass dann in obiger Aufgabe die Menge so definiiert ist, dass jedes Vielfache in der Menge liegt?

21.02.2012, 13:13

Leopold

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?
Du mußt nur das hier

Zitat:

Original von martinio
$\begin{eqnarray*} a) \left\{ \begin{pmatrix} w \\ x\\ y \\ z \end{pmatrix} | x=y , w=z \right\} \end{eqnarray*}$

richtig übersetzen: Die Menge aller Vektoren (des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ), bei denen die zweite Koordinate mit der dritten und die erste mit der vierten übereinstimmt.

21.02.2012, 13:26

martinio

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?
also hängt alles von der form des vektors ab und ob ein vektor seine form durch die multiplikation mit skalaren oder durch die addition mit anderen vektoren verliert?

z.B. : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

21.02.2012, 13:42

Leopold

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?

Zitat:

Original von martinio
also hängt alles von der form des vektors ab und ob ein vektor seine form durch die multiplikation mit skalaren oder durch die addition mit anderen vektoren verliert?

... oder behält.

21.02.2012, 14:22

martinio

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?
danke :=)

habe aber noch ein letzes verständnis problem:

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} | x^2 = w\right\} \end{eqnarray*}$ soll kein unterraum sein. Den einzigen Grund dafür sehe ich in diesem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1^2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1^2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1^2 + 1^2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dies entspricht dann nicht mehr der geforderten Form. Richtig so?

21.02.2012, 14:25

klarsoweit

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RE: Teilmengen des R^4 Unterräume?

Zitat:

Original von martinio
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1^2 + 1^2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Immerhin ist 1² + 1² immer noch = 2. smile

21.02.2012, 14:26

Leopold

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Unabhängig davon, ob das der geforderten Form entspricht, bleibt EINS PLUS EINS GLEICH ZWEI. Augenzwinkern

21.02.2012, 14:29

martinio

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ups sry total dummer fehler Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1^2 + 1^2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das entspricht leider nicht der form, die ja eigentlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ fordert . :=)

21.02.2012, 14:36

Leopold

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