Schnittmenge zweier Geraden

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Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge zweier Geraden
Hallo,

ich habe hier eine aufgabe:

Gerade 1:= x1+x2+x3=1
x1-x3=1

Gerade 2:= x1+x2+x3=1
x1- x2=1

So. Jetzt muss ich sagen, ob die Teilmenge leer ist. Erst mal zur Geraden 1: Muss ich die Schnittgerade aus beiden Gleichungen berechnen, oder kann ich einfach x1-x3=1 nehmen?
Sonst habe ich als Schnittgerade das hier: g_1:= (0/0/1)+ r*(1/0/-1)
Für g_2:= (0/-1/3)+r*(1/1/-2)
Und wie mache ich das mit der Teilmenge? Einfach die Geraden gleichsetzten?
Dann habe ich raus: r=0
r=1
r=2
Was sagt mir das? Ist der Rechenweg richtig?

Danke
Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »

also es geht um die Teilmenge der beiden Geraden. Beide Geraden wurden durch jeweils 2 Ebenen dargestellt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "Teilmenge"? Etwa den Durchschnitt? Dann musst du diese Menge auch so benennen.

Hinweis: Für zwei verschiedene Parametergleichungen von Geraden müssen auch die Parameter verschieden bezeichnet werden. Bei beiden Geraden den gleichen Parameter "r" zu nehmen, ist unzulässig.

Der Aufpunkt von g2 ist falsch.

Ansonsten wäre der Rechenweg richtig.

mY+
Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ortsvektor von g_2:=(0/-1/2)+s*(1/1/-2)

s=r
s=1
s=1/2+r/2

Muss s immer gleich sein?
Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »

So ist das richtig? Haben die also keinen Durchschnitt, weil s nicht überall gleich ist.
Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »

aber die gleichung ist ja doch erfüllt, oder? Wenn s=1 und s=r, dann geht das ja, dass die Summevon 1 und r durch 2 s ergibt. In der Lösung steht aber, dass die Schnittmenge leer ist.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Keineswegs müssen die Parameter (r, s) gleich sein; meist sind sie sogar verschieden.
Es geht um etwas ganz anderes: Das lin. Gl. System in r, s, welches aus drei Gleichungen, aber nur 2 Unbekannten besteht, muss - im Falle der Existenz eines Schnittpunktes - für r und s eine eindeutige Lösung haben. Andernfalls ist die Schnittmenge leer, es gibt also keinen Schnittpunkt und die beiden Geraden liegen windschief (kreuzend oder parallel).
____________

Schreibe also einmal alle drei Gleichungen in r, s an und betrachte dann die Lösungsmenge dieses Systems.

mY+
Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »

s-r=0
s-1=0
-2s+1+r=0

So oder? Was wäre denn eine eindeutige Lösung.
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge zweier Geraden
Zitat:
Original von Givemeanswer


Gerade 1:= x1+x2+x3=1
x1-x3=1

Gerade 2:= x1+x2+x3=1
x1- x2=1


Schnittpunkt der beiden Geraden?

könnte man das - bei diesem speziellen Beispiel - vielleicht auch so anpacken? :

- offensichtlich wird der Schnittpunkt wohl in der Ebene E1: x1+x2+x3=1 liegen - (klar warum?)

also genüg es, den Durchstosspunkt D der Schnittgeraden g der beiden Ebenen
E2: x1-x3=1
E3: x1- x2=1
durch E1 zu berechnen
also g:
x1= t
x2= t-1
x3= t-1
eingesetzt in E1 -> t=1
D(1,0,0) ;fertig
oder?
Givemeanswer Auf diesen Beitrag antworten »

Hier steht aber, dass die Schnittmenge leer ist.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Givemeanswer
Hier steht aber, dass die Schnittmenge leer ist.

das ist sie Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleichungssystem ist zwar zufällig eindeutig lösbar (es würde also einen Schnittpunkt geben), es beruht jedoch auf einem weiteren Fehler: Der Aufpunkt von g1 ist leider ebenfalls falsch.

mY+
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe

Zitat:
Original von Givemeanswer
Hier steht aber, dass die Schnittmenge leer ist.


das ist sie Augenzwinkern



@ riwe ,
@ mYthos :

vielleicht habe ich da was nicht richtig mitbekommen:
stimmt es, dass ihr der Meinung seid, die beiden Geraden g1 ubd g2 schneiden einander nicht?

Aufgabe ist doch :

Gerade 1:= x1+x2+x3=1
x1-x3=1

Gerade 2:= x1+x2+x3=1
x1- x2=1

dh g1 und g2 sind jeweils als Schnitt zweier Ebenen gegeben
und gefragt ist nach dem möglichen Schnittpunkt g1 n g2
oder?

mögliche Parameterdarstellungen:
g1:
x=s
y=2-2s
z=s-1
................... und
g2:
x=t
y= - 1 + t
z=2 - 2t

und wenn ich es richtig sehe , haben diese beiden Geraden den Schnittpunkt (1,0,0)
(für t=s=1)

(was mit meiner oben notierten anderen Lösungsvarianten übereinstimmt)


also:
sehe ich da was verkehrt
oder
geht es euch womöglich um was anderes?
verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es geht uns nicht um etwas anderes, sondern um die ursprüngliche Aufgabenstellung: Bestimme die Schnittmenge der im ersten Post angegebenen Geraden. Dass dann in der Zwischenzeit mehrere Fehler passiert sind, hat - mit den unkorrekten Zwischenergebnissen - zu der falschen Annahme geführt, dass diese beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben.
In Wirklichkeit existiert tatsächlich ein Schnittpunkt, nämlich (1; 0; 0).
Wenn im Lösungsteil etwas anderes steht, sollte einmal die Angabe überprüft werden. Jedes weitere Herumgewurstel bringt nur leere Kilometer.
_______________

Der Fragesteller hat insgesamt 3 Fehler gemacht: g1 hat sowohl einen falschen Aufpunkt, als auch den falschen Richtungsvektor. Bei g2 stimmte ebenfalls der Aufpunkt nicht (wurde im Nachpost korrigiert), der Richtungsvektor war richtig.
Und bis jetzt war die Parameterform von g1 noch immer nicht als richtig berechnet zu sehen.

mY+
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