Bestimmen von Basen eines Untervektorraums U und U(senkrecht)

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HarryWerner Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen von Basen eines Untervektorraums U und U(senkrecht)
Meine Frage:
Bestimmen sie Basen für die Untervektorräume U:={(a,b,c,d)?R^4:d=a+d,c=a-b} und U(senkrecht) von R^4.

Meine Ideen:
Wir haben uns überlegt, dass Vektoren von U sein müssen:
v1 = (1,0,1,1) und v2 = (0,1,-1,1)

Alle weiteren, die wir aufgestellt haben, wurden durch das normale Gaußverfahren eliminiert. Wir können uns allerdings nicht vorstellen, dass das schon die Lösung der Aufgabe sein kann. Wie stellt man also Basen zu den Untervektorräumen auf?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüfe bitte noch einmal deine Aufgabenstellung. v1 ist nicht in U. Da ist nicht d = a+ d. Ich vermute hier einen Tippfehler.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen von Basen eines Untervektorraums U und U(senkrecht)
Zitat:
Original von HarryWerner
Bestimmen sie Basen für die Untervektorräume U:={(a,b,c,d)?R^4:d=a+d,c=a-b} und U(senkrecht) von R^4.

Sicher, dass da d=a+d steht? Daraus würde nämlich folgen, dass a=0 ist.
HarryWerner Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Überprüfe bitte noch einmal deine Aufgabenstellung. v1 ist nicht in U. Da ist nicht d = a+ d. Ich vermute hier einen Tippfehler.


Du hast recht. d= a+b. Sorry
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild welcher Matrix ist denn dieser Unterraum?
Also welche Matrix muss man mit dem multiplizieren um alle Vektoren des gesuchten Raums zu bekommen?
HarryWerner Auf diesen Beitrag antworten »

Leider fehlt mir dazu wahrscheinlich noch das nötige Hintergrundwissen.
Also damit will ich sagen, dass das die erste Aufgabe in der Richtung ist, die ich löse.

Was versteht man denn unter einer Matrix, die mit R4 multipliziert wird? Bzw. wie kann ich aus der Aufgabenstellung ablesen, welche Vektoren dieser Untervektorraum wirklich enthält?

Also auf den ersten Blick würde ich schätzen, dass der Untervektorraum die Dimension 2 hat oder liege ich auch da schon falsch?
 
 
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Nein damit liegt du richtig. Auch die Vektoren die du hast, sind die gesuchte Basis.

Wenn man sich die Bedingungen und anschaut, sieht man ja, dass jeder Vektor dieses Raums von der Form:



ist.

Jetzt ist die Frage: Wie sieht eine Matrix aus, sodass:



Wenn du diese Matrix hast, weißt du, dass alle l.u. Vektoren dieser Matrix eine Basis des Bildes sind, welches dein gesuchter UVR ist und du kannst dann auch da direkt die Dimension ablesen.
HarryWerner Auf diesen Beitrag antworten »



Das wäre also die Matrix und die ersten beiden Spalten die Basisvektoren.
Wie komme ich nun von dieser Basis auf eine, die senkrecht auf dem Untervektorraum steht.

Also wir nehmen dann an, dass wir das mithilfe des Standardskalarproduktes hinbekommen müssten.
Allerdings habe ich dann wieder das Problem, dass mir der Ansatz fehlt.

Erstmal dankeschön für die gute Erklärung des ersten Teils
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, dass Elemente aus dem orthogonalen Raum senkrecht auf beide Basisvektoren stehen müssen. Das heißt



Das führt dann zu einem unterbestimmen Gleichungssystem, dass du nur noch lösen brauchst.
HarryWerner Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann habe ich mir das doch ganz richtig gedacht. Wir haben jetzt z.B.
(1,3,1,-2) herausbekommen.

Sehe ich das jetzt richtig, dass das nicht eindeutig ist? weil zum Beispiel (-2,0,1,1) wäre ja dann auch ein orthogonaler Vektor.

Dankeschön für die schnelle Antwort!
Der Harry wars. Augenzwinkern
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das ist natürlich nicht eindeutig. Du hast ein unterbestimmtes Gleichungssystem, dass einen kompletten Unterraum als Lösung hat, nämlich . Von dem brauchst du nun noch die Basisvektoren.
HarryWerner Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja das ist natürlich logisch.

Kann ich da jetzt einfach die beiden Vektoren als Basis stehen lassen, da man sieht, dass sie linear unabhängig sind? Mehr als zwei Vektoren kommen ja in der Basis nicht vor, da die Dimension der Orthogonalen Untervektorräume in der Summe ja die Dimension des K-Vektorraumes ergeben müssen oder seh ich das falsch?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja diese beiden Bilden eine Basis des orthogonalen Raums. Diese anzugeben reicht.
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