Gleichung (x / ln (x) = 3) nach x auflösen

21.02.2012, 23:49

Stahlrahmen

Gleichung (x / ln (x) = 3) nach x auflösen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

steh ich total auf dem Schlauch oder wie lautet die Auflösung von

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x}{ln (x)} = 3<br /> \end{eqnarray*}$

??

Die Lösung liegt ungefähr bei 1,85, aber wie bestimme ich das algebraisch, geht das mit der Lambert'schen W-Funktion?

Vielen Dank für alle Tips

Marcus

Meine Ideen:
Das ursprüngliche Problem besteht darin,

$\begin{eqnarray*} e^{x} = x^{3} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

22.02.2012, 00:16

Dopap

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manchmal hilft ja ein Bild, und zum Thema "die Lösung"

Wüsste nicht wie das exakt zu berechnen wäre.

22.02.2012, 00:21

me, bender

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In welchem Kontext wurde die Aufgabe gestellt?

22.02.2012, 00:30

Stahlrahmen

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Gleichung (x / ln (x) = 3) nach x auflösen
@ Dopap: ja den Funktionenplotter hab ich auch schon bemüht und dann eben mit Ausprobieren weitergemacht, wie gesagt bei ca. 1,85 ist die Lösung, aber ich hätt's ja eben gern genau gelöst (oder wenigstens die Gewißheit, daß es nicht geht ^^)

Die Aufgabe taucht im Rahmen einer TZ-Übung auf, wo in einer Ansicht zwei Linien zusammentreffen (die in ihrem Verlauf eben den o.g. Funktionen entsprechen)

22.02.2012, 00:38

Dopap

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warum sprichst du immer noch von der Lösung ( im Singular ) verwirrt

und rechnerisch geht es beliebig genau..

22.02.2012, 16:44

me, bender

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Was ist eine TZ-Übung?

22.02.2012, 18:04

Stahlrahmen

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algebraisch lösen

Zitat:

warum sprichst du immer noch von der Lösung ( im Singular ) verwirrt

und rechnerisch geht es beliebig genau..

weil es für x genau eine Lösung gibt; klar geht's rechnerisch beliebig genau, ich will es aber algebraisch ;-)

22.02.2012, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stahlrahmen
weil es für x genau eine Lösung gibt

Wie an dem von Dopap geplotteten Graph bereits erkennbar ist, gibt es zwei positive reelle Lösungen dieser Gleichung.

Eine exakte Berechnung geht allenfalls unter Nutzung der LambertW-Funktion, es ist dann

$\begin{eqnarray*} -\frac{x}{3} \cdot \exp\left( -\frac{x}{3} \right) = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

mit Lösung

$\begin{eqnarray*} x_k = -3\cdot W_k\left( -\frac{1}{3} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k=-1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} W_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_{-1} \end{eqnarray*}$ sind die beiden Zweige der LambertW-Funktion, letzterer ist im Reellen nur für Argumente aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left( - \frac{1}{e}, 0 \right) \end{eqnarray*}$ von Interesse - und das ist hier mit Argument $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ der Fall.

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