Dimensionsatz

22.02.2012, 10:32

Steffe2361

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Dimensionsatz

Hi, ich bräuchte wiedermal eure Hilfe smile

smile

Beweise bzw. widerlege folgende Aussage:

Für jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: R^4 \rightarrow R^4 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} dim(kern(f)) + dim(Imf(f)) = 4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Also gut ich schätze einmal, dass diese Aussage wahr ist.

Beweis:

Ich weis, dass der Kern ein Untervektorraum des Definitonsbereiches ist. Somit gilt

$\begin{eqnarray*} dim(V) \geq dim(kern(f) \end{eqnarray*}$

Angenommen der Kern hat nun die Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} \left\{ v_1,...v_n\right\} \end{eqnarray*}$ , dann könnte ich mittels Basisergänzungsatz auf die Basis von V ergänzen. Also:

$\begin{eqnarray*} dim(V) = \left\{ v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\right\} \end{eqnarray*}$
//Deshalb v_4 weil mein Definitionsbereich, der $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun nutze ich die lineare Abbildung auf meine Basis V und erhalte
$\begin{eqnarray*} f(\left\{ v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\right\}) = f(\left\{ v_1,...v_n,\right\} + f(\left\{v_{n+1},...v_4\right\} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich, dass die "Kernvektoren" auf 0 abgebildet bleiben und es bleiben meine Bildvektoren.
$\begin{eqnarray*} 0 + f(\left\{v_{n+1},...v_4\right\} \rightarrow Im(f) \end{eqnarray*}$

Fazit: Falls nun mein Kern dim 4 hat, so hat mein Bild dim 0 und umgekehrt. Aber in jedem Fall hat die Summe aus Kern und Bild 4 "(Basis)Vektoren".

Folgerung: $\begin{eqnarray*} dim(kern(f)) + dim(Imf(f)) = 4 \end{eqnarray*}$

Kann ich dies so lassen?

Danke euch vielmals

22.02.2012, 13:55

Reksilat

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RE: Dimensionsatz
Hallo Steffe,

Zitat:

Nun nutze ich die lineare Abbildung auf meine Basis V und erhalte
$\begin{eqnarray*} f(\left\{ v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\right\}) = f(\left\{ v_1,...v_n,\right\} + f(\left\{v_{n+1},...v_4\right\} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht.
Was meinst Du damit, wenn Du eine Abbildung "auf einer Basis nutzt"?
Und dann addierst Du Mengen - das ist für mich erst mal nicht definiert.

Auch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} dim(V) = \left\{ v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\right\} \end{eqnarray*}$

ergibt keinen Sinn, da auf der einen Seite eine Zahl (Dimension) und auf der anderen eine Menge steht.

Das mit der Basisergänzung ist aber nicht schlecht. Du kannst zum Beispiel zeigen, dass die Bilder einer Basis immer ein Erzeugendensystem des Bildes sind, d.h. $\begin{eqnarray*} \{f(v_1),...,f(v_4)\} \end{eqnarray*}$ erzeugt $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f) \end{eqnarray*}$

Schau aber auch mal, ob Du nicht vielleicht ein paar bereits vorhandene Resultate nutzen kannst.

Gruß,
Rubiksilat.

22.02.2012, 17:10

steffen2361

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} dim(V) = \left\{ v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\right\} \end{eqnarray*}$

STimmt meine Notation ist falsch, gemeint hatte ich die BAsisvektoren von V

V hat Basis $\begin{eqnarray*} \left\{ v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\right\} \end{eqnarray*}$
//Also die Vektoren von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$

Ich wollte es deshalb so aufschreiben damit ersichtlich wird, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ zum Kern gehören und den Rest als Ergänzung zu V.

Und jetzt wollte ich diese Basis von V abbilden.

$\begin{eqnarray*} f(v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4) \end{eqnarray*}$

im nächsten Schritt habe ich versucht den Kern und die restlichen Basisvektoren (die bei der Ergänzung wiederzukamen) zu trennen.

Also:

$\begin{eqnarray*} f(v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4) = \underbrace{f(v_1,...v_n)}_{kern}+ f( v_{n+1},...v_4) \end{eqnarray*}$

Da der Kern auf 0 abbildet bleibt:

$\begin{eqnarray*} 0 + f( v_{n+1},...v_4) = Im(V) \end{eqnarray*}$

Meine Folgerung daraus war:

Fazit: Falls nun mein Kern dim 4 hat, so hat mein Bild dim 0 und umgekehrt. Aber in jedem Fall hat die Summe aus Kern und Bild 4 "(Basis)Vektoren".

Habe ich dies nun besser Formuliert?

23.02.2012, 10:47

Reksilat

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Zitat:

Und jetzt wollte ich diese Basis von V abbilden.

$\begin{eqnarray*} f(v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4) \end{eqnarray*}$

im nächsten Schritt habe ich versucht den Kern und die restlichen Basisvektoren (die bei der Ergänzung wiederzukamen) zu trennen.

Also:

$\begin{eqnarray*} f(v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4) = \underbrace{f(v_1,...v_n)}_{kern}+ f( v_{n+1},...v_4) \end{eqnarray*}$

Da der Kern auf 0 abbildet bleibt:

$\begin{eqnarray*} 0 + f( v_{n+1},...v_4) = Im(V) \end{eqnarray*}$

Das ergibt noch immer keinen Sinn. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat nur ein Argument und insofern ist $\begin{eqnarray*} f(v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4) \end{eqnarray*}$ nicht definiert.
Du kannst Dir das Bild der Basis anschauen, also:
$\begin{eqnarray*} f(\{v_1,...v_n, v_{n+1},...v_4\}) =\{f(v_1),...,f(v_n)\} \end{eqnarray*}$
Das ist dann aber eben wieder eine Menge und diese wirst Du nicht addieren können.
Deine Argumentation ist also noch immer nicht sinnvoll. Es hängt nicht nur an der Formulierung.

...

Ich habe oben übrigens auch Hinweise gegeben.

23.02.2012, 11:41

steffen2361

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ok ich nehme mal an Sie beziehen sich auf diese Aussage

Zitat:

Das mit der Basisergänzung ist aber nicht schlecht. Du kannst zum Beispiel zeigen, dass die Bilder einer Basis immer ein Erzeugendensystem des Bildes sind, d.h. $\begin{eqnarray*} \{f(v_1),...,f(v_4)\} \end{eqnarray*}$ erzeugt $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f) \end{eqnarray*}$

Hierzu nehme ich die Basis des Definitionsbereiches

$\begin{eqnarray*} V := {v_1, ...v_n} \end{eqnarray*}$

Diese kann ich doch auch als LK schreiben

$\begin{eqnarray*} V := \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

Nun bilde ich dieses ab

$\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f(v_i) \end{eqnarray*}$

und dies ist doch ein Erzeugendensystem für alle Bildvektoren $\begin{eqnarray*} (f(v_i)) \end{eqnarray*}$

Hast du das so gemeint?

Danke dir smile

smile

23.02.2012, 11:49

Reksilat

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Zitat:

Hierzu nehme ich die Basis des Definitionsbereiches
$\begin{eqnarray*} V := \{v_1, ...v_n\} \end{eqnarray*}$ - geschweifte Klammern mit \{ und \}

Diese kann ich doch auch als LK schreiben
$\begin{eqnarray*} V := \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

Hier widersprichst Du Dir selbst. Dein V ist einmal eine Menge und einmal ein Vektor. unglücklich

unglücklich

Und für ein Erzeugendensystem des Bildes musst Du Dir zuerst einen Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ aus dem Bild hernehmen. Dafür existiert dann ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=f(v) \end{eqnarray*}$ und dieses $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ kannst Du als Linearkombination Deiner Basis schreiben.
Mit Deinem obigen Schritt erhältst Du dann auch für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination aus den $\begin{eqnarray*} f(v_i) \end{eqnarray*}$ .

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23.02.2012, 12:02

steffen2361

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Zitat:

Dafür existiert dann ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=f(v) \end{eqnarray*}$

ok ok ich nehme dies an und nehme einen Vektor v \in V für diesen gilt.

$\begin{eqnarray*} f(v) = w \end{eqnarray*}$

des weiteren schreibe ich k als LK

$\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

nun bilde ich diesen ab.

$\begin{eqnarray*} f( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f( v_i) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i w_i = w \end{eqnarray*}$

Also das gesuchte Erzeugendensystem, doch wie hilft mir dies bei meiner Aussage weiter?

mfg

23.02.2012, 12:06

Reksilat

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Deine $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ sind nicht definiert!
Ist auch nicht schlimm, denn so rum ergibt es mehr Sinn:
$\begin{eqnarray*} w=f(v)=f( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f( v_i) \end{eqnarray*}$

Damit siehst Du, dass das $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \{f(v_1),...,f(v_n)\}\ \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird. Was sagt Dir das nun über die Dimension des Bildes?
(Beachte, wie Du am Anfang Deine $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ gewählt hast.)

23.02.2012, 12:13

steffen2361

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Zitat:

Was sagt Dir das nun über die Dimension des Bildes?

Dass, das Bild die Dimension n hat.

23.02.2012, 12:20

Reksilat

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Nein, denn dazu müssten die $\begin{eqnarray*} f(v_i) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein - und das ist nicht klar.
Vor allem solltest Du wieder Dein ursprüngliches Problem anschauen. Irgendwo hat sich nämlich die Bedeutung des n verändert und wurde plötzlich zur Dimension des Definitionsbereichs (also n=4) obwohl es zuerst etwas anderes war.

Also zurück zum Anfang:
$\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_4\} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .
Diese sei so konstruiert, dass $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_k\} \end{eqnarray*}$ einen Basis des Kerns ist. ( $\begin{eqnarray*} k\leq 4 \end{eqnarray*}$ )
Was kannst Du nun über die Dimension von $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f)=\langle f(v_1),...,f(v_4)\rangle \end{eqnarray*}$ aussagen?

23.02.2012, 12:29

steffen2361

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Ich weis nicht genau ob es dies ist worauf du hinaus wolltest:

Also

dim(V) = 4

Somit gilt laut DImensionssatz:

$\begin{eqnarray*} 4 = dim(kern(f)) + dim(Im(f) \end{eqnarray*}$

ok da nun der Kern ein Untervektorraum des Definitionsbereiches ist gilt $\begin{eqnarray*} dim(kern(f)) \le 4 \end{eqnarray*}$ (wie du schon sagtest)

Zitat:

Was kannst Du nun über die Dimension von $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f)=\langle f(v_1),...,f(v_4)\rangle \end{eqnarray*}$ aussagen?

Nun forme ich oben um und erhalte:

$\begin{eqnarray*} dim(Im(f)) = 4 - dim(kern(f)) \end{eqnarray*}$

Die Dimension des Bildes kann also nicht größer als 4.

Hast du dies gemeint?

23.02.2012, 14:14

Reksilat

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Zitat:

Somit gilt laut DImensionssatz:

$\begin{eqnarray*} 4 = dim(kern(f)) + dim(Im(f) \end{eqnarray*}$

Hmmmmhh... Wenn Du das jetzt als Zitat verwendest... Was willst Du dann eigentlich zeigen? verwirrt

verwirrt

23.02.2012, 14:27

steffen2361

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Zitat:

Was willst Du dann eigentlich zeigen?

Naja, wenn ich das genau wüsste hätte ich dich nicht gefragt. Meine Angabe habe ich exakt im 1sten post wiedergegeben....

mfg

23.02.2012, 14:34

Reksilat

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Du hast gerade eben die Behauptung zitiert. Ist Dir das nicht aufgefallen?

Du kannst nicht den Dimensionssatz zitieren, wenn Du ihn gerade zeigen willst.

Wenn Du irgendwas nicht verstehst, was ich geschrieben habe, dann frage bitte nach.

23.02.2012, 14:52

steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du kannst nicht den Dimensionssatz zitieren, wenn Du ihn gerade zeigen willst.

ach, das ist also mein Gedankenfehler.....

Also um auf deine vorherige Frage zurückzukommen.

Zitat:

Was kannst Du nun über die Dimension von $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f)=\langle f(v_1),...,f(v_4)\rangle \end{eqnarray*}$ aussagen?

Naja dann kann ich über die Dimension des Bildes ebenfalls sagen, dass sie $\begin{eqnarray*} \le 4 \end{eqnarray*}$ ist. Da die Vektoren ja nicht zwingend linear unabhängig sein müssen.

Da mein Kern aber ein Untervektorraum von V ist und Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_k\} \end{eqnarray*}$ hat, so hat dieser doch Dimension k. Das heißt aber auch, das sich k Vektoren auf die 0 abbilden (oder).

Falls nun aber gilt k < 4, so hat der Kern eine Basis von 3 Vektoren. Diese Basis erweitere ich nun (mittels Basisergänzungsatz) auf eine Basis von V. Somit habe ich nun wieder eine Basis von 4 Vektoren, nämlich $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_4\} \end{eqnarray*}$ .

Da ich aber nun weis, dass k Vektoren auf die 0 abbilden, bleiben mir nur noch 4 -k Bildvektoren übrig. Ja und diese haben Dimension 4 -k.

hmmm verwirrt

verwirrt

23.02.2012, 15:24

Reksilat

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Zitat:

Naja dann kann ich über die Dimension des Bildes ebenfalls sagen, dass sie $\begin{eqnarray*} \le 4 \end{eqnarray*}$ ist. Da die Vektoren ja nicht zwingend linear unabhängig sein müssen.

Ja.

Zitat:

Da mein Kern aber ein Untervektorraum von V ist und Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_k\} \end{eqnarray*}$ hat, so hat dieser doch Dimension k. Das heißt aber auch, das sich k Vektoren auf die 0 abbilden (oder).

Stimmt auch

Zitat:

Falls nun aber gilt k < 4, so hat der Kern eine Basis von 3 Vektoren. Diese Basis erweitere ich nun (mittels Basisergänzungsatz) auf eine Basis von V. Somit habe ich nun wieder eine Basis von 4 Vektoren, nämlich $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_4\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn k<4 ist, so hat der Kern eine Basis aus k Vektoren (nicht unbedingt 3). Der Rest stimmt.

Zitat:

Da ich aber nun weiß, dass k Vektoren auf die 0 abbilden, bleiben mir nur noch 4 -k Bildvektoren übrig. Ja und diese haben Dimension 4 -k.

Nun, wir wissen zumindest, dass $\begin{eqnarray*} \dim({\rm Im}(f))\leq 4 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} {\rm Im}(f)=\langle f(v_1),..,f(v_k),f(v_{k+1}),...,f(v_4)\rangle=\langle f(v_{k+1}),...,f(v_4)\rangle \end{eqnarray*}$ (Die anderen $\begin{eqnarray*} f(v_i) \end{eqnarray*}$ sind ja Null)

Nun fehlt eigentlich nur noch die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \{f(v_{k+1}),...,f(v_4)\} \end{eqnarray*}$ .

23.02.2012, 15:41

steffen2361

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Zitat:

Nun fehlt eigentlich nur noch die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \{f(v_{k+1}),...,f(v_4)\} \end{eqnarray*}$ .

Nun ja müsste ich dazu nicht zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1} f(v_{k+1}), +...+ \lambda_4 f(v_4) = 0 \end{eqnarray*}$

folgt,

$\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1}=....= \lambda_4 = 0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.02.2012, 15:45

Reksilat

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Richtig, also forme doch mal um:
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_{k+1} f(v_{k+1}), +...+ \lambda_4 f(v_4) = \end{eqnarray*}$

23.02.2012, 15:59

steffen2361

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hmm ok

$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_{k+1} f(v_{k+1}), +...+ \lambda_4 f(v_4) = \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i f(v_i) \end{eqnarray*}$

Und dies kann doch nur 0 sein, falls alle \lambda_i =0

Somit linear unabhängig

23.02.2012, 16:01

Reksilat

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Nein, den Schluss sehe ich nicht. Zumal Du die Summe nur anders aufgeschrieben, aber nicht umgeformt hast. Nutze die Linearität von f.

23.02.2012, 16:18

steffen2361

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hmm ok

$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_{k+1} f(v_{k+1}), +...+ \lambda_4 f(v_4) = \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i f(v_i) = f( \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i v_i) \end{eqnarray*}$

Nun folgt doch
$\begin{eqnarray*} f( \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i v_i) =0 \end{eqnarray*}$

Da wir aber schon alle Vektoren "herausgenommen" haben, die auf 0 abbilden, muss doch $\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1} =...= \lambda_4 =0 \end{eqnarray*}$ sein.

um $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ zu erhalten

was sagst du dazu?

23.02.2012, 16:27

Reksilat

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Bist Du denn von Deiner Argumentation selbst überzeugt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aus $\begin{eqnarray*} f( \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i v_i) =0 \end{eqnarray*}$ folgt zunächst $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i v_i\in{\rm ker}(f) \end{eqnarray*}$

Aber den Kern kennen wir ja...

23.02.2012, 16:34

steffen2361

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ach ich blicke schon nichtmehr durch, muss erstmal wieder einen klaren Kopf bekommen unglücklich

unglücklich

Danke dir vielmals bis hierher

23.02.2012, 21:23

steffen2361

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So ich probiere es nun einmal ganz anders...

Zu zeigen gilt doch, dass

$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_{k+1} f(v_{k+1}), +...+ \lambda_4 f(v_4) = \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i f(v_i) \end{eqnarray*}$

Also ob

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

Dafür müsste doch jedes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0 sein.

Deshalb nehme ich jetzt indirket an, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} \lambda_k \not = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k+1 \le k \le 4 \end{eqnarray*}$ . Und versuche auf einen Widerspruch zu kommen.

Darum:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i f(v_i) =f(\underbrace{\sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i v_i}_{= l}) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich definiere also

$\begin{eqnarray*} l := \sum\limits_{i=k+1}^4 \lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

Doch das ist ja nichts anderes als der Kern, welchen wir ja schon als Basis bestimmt haben.

Nämlich $\begin{eqnarray*} B_{kern} = \{v_1,...v_k\} \end{eqnarray*}$

So und hier ist der Widerspruch. Die Basisvektoren vom Kern sind linear unabhängig, sprich $\begin{eqnarray*} \lambda_1,....\lambda_k = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber mein $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ bildet nun ja ebenfalls 0 ab. Nur habe ich, ja angenommen es gäbe ein $\begin{eqnarray*} \lambda_j \not = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist kann ja jetzt nicht stimmen. Dadurch sind auch $\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1},....\lambda_4 = 0 \end{eqnarray*}$ . Somit $\begin{eqnarray*} Im(f) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

hoffe das passt jetzt halbwegs smile

smile

24.02.2012, 15:01

Reksilat

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Etwas durcheinander, aber es passt auf jeden Fall.

Dein $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ liegt im Kern und wird auf 0 abgebildet
(Und nicht: "ist der Kern" und "bildet 0 ab")

Zitat:

Deshalb nehme ich jetzt indirket an, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} \lambda_k \not = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k+1 \le k \le 4 \end{eqnarray*}$ . Und versuche auf einen Widerspruch zu kommen.

Das ist völliger Quark, denn mit $\begin{eqnarray*} k+1\le k \end{eqnarray*}$ hast Du schon in der Annahme einen Widerspruch.
Eine Variable sollte in einem Beweis nicht mehrfach belegt sein!

Zudem benötigst Du diese Annahme auch nicht. Dein $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ liegt ja nach der Konstruktion in $\begin{eqnarray*} \langle v_{k+1},...,v_4\rangle \end{eqnarray*}$ und kann aufgrund der linearen Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ nicht auch noch im Kern= $\begin{eqnarray*} \langle v_{1},...,v_k\rangle \end{eqnarray*}$ liegen.

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