Basis finden

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
Basis finden
Hallo habe die Aufgabe von einem Vektorraum die Basis zu finden und die Dimension anzugeben.

Also ein Vektorraum mit der Menge an Vektoren dieser Form:
oder . Zum Beispiel: .

Zur Aufgabe: Eine Menge von Vektoren heißt genau dann Basis, wenn sie a) lin. unabhängig ist und b) wenn das Erzeugnis / Lineare Hülle ( also die Vektoren die sich als Linearkombi. aus den Basisvektoren darstellen lassen) den Vektorraum aufspannt.
Ansatz: ist Basis von V.

Der Nachweis der lin. unabhängigkeit liegt auf der Hand. Aber wie kann ich nun zeigen, dass damit jeder Vektor in dem Vektorraum V erreicht werden kann? Klar das ist logisch, aber das reicht natürlich nicht. Eine suche bei google über den Beweis eines Erzeugendensystems führt diesmal leider zu nichts.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Sei der Vektor (a,b,b,a) € V beliebig, mit a,b € R. Von dieser Form sind ja ALLE Vektoren aus V.

Diesen Vektor kannst du doch leicht mittels einer Linearkombination der beiden Vektoren aus deinem U darstellen.

Dann ist U ein Erzeugendensystem.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Nimm dir einen allgemeinen Vektor v aus V und dann brauchst du mit .
martinio Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
okay klar, durch ne allgemeingehaltende Linearkombination:

Sei Lambda1 = a , sei Lambda2 = b . Es folgt:



So O.K. ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Jop, so ists richtig Freude
martinio Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
habe noch eine aufgabe dieser art, wo ich nicht weiterkomme:



D.h. die Vektoren dieser Menge haben die Form: Zunächst einmal verwirrt mich die zweite Bedingung, dass 2x+3y=0 gibt. Was soll dies heißen?

Eine mögliche Basis wäre meiner Meinung nach:
Wobei ich mir bei der Darstellungweise nicht sicher bin, ob das zulässig wäre. Ich will halt dort im 4. Basisvektor die erste Zeile des 1. Basisvektors + die 2. Zeile des 2. Basisvektors.... stehen habe, daher nochmal die unterscheidung.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Du hast 4 Vektoren in deiner Basis - der Startraum hat Dimension 4. Dass dort was nicht stimmen kann, sollte klar sein.

Vielleicht hilft es wenn du erst einmal bisschen umformst


Dann sollte man für den Raum schon einmal eine Idee für die Basis haben.

Jetzt hast du aber noch eine Bedingung, die folgt nicht aus der anderen, d.h. unser Raum wird wieder echt kleiner.

So wie du z ersetzt hast, musst du jetzt noch x oder y ersetzen, eine (implizite) Gleichung wie es zu tun ist, hast du schon gegeben. Heißt nur noch einsetzen.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »



aber was bringt mir das nun?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gegeben, das kannst du ohne Weiteres nach x oder y umstellen und bekommst .

Das y kannst du ohne weiteres in die Form einsetzen, die ich hergeleitet habe. Dann heißt es vereinfachen und versuchen daraus eine Basis zu gewinnen.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

okay ja dann stelle ich das ganze nach x um:



Setze nun dies in die Formel ein und vereinfache auf:



Das kann aber immer noch keine Basis sein, da z.B. der Vektor (1/1/1/3) der eine gültige Form besitzt, nicht darstellbar ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Vektor hat aber keine gültige Form, da 2x + 3y = 0 nicht erfüllt ist. Für Vektoren im Vektorraum müssen beide Bedingungen erfüllt sein. Wenn man "nur jeweils eine von Beiden muss erfüllt sein" hat man die Vereinigung 2er Vektorräume, nicht den Schnitt, und dann ist es im allgemeinen kein Vektorraum mehr.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also die umformung ist korrekt?
Form I:

Form II:

D.h. der Vektorraum beschränkt sich nur auf die Menge der Vektoren , die sowohl obige, als auch untige Form, gleichzeitig erfüllen? Da ist kreativität gefragt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung sollte korrekt sein.
Die Form 1 erhält man aus 2. D.h. alle die Form 1 erfüllen, erfüllen sofort auch w+x+y = z.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das ist schon eine merkwürdige / gewöhnungsbedürftige angelegenheit... aber eig. ganz logisch. ich forme ja zunächst so um dass ich auf form II komme und dann nochmals auf formI.

Wie sehen denn nun solche Vektoren aus? Irgendwie kann ich dass mir noch nicht vorstellen, wo da nun der Zusammenhang zu 2x + 3y = 0 liegt...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dort praktisch eine Basis gegeben, jeder Vektor hat die Form 1, also kannst du nachrechnen, dass die 2. Komponente eines jeden Vektors mit 2 multipliziert, dazu das Doppelte der dritten Komponente addiert, immer 0 ergibt, was gerade gefordert war.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

super! habs jetzt verstanden, tut mir leid für die späte antwort, aber wollte es nicht so im raumstehen lassen.

- closed Wink
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