Vektorraum einer Funktionsschaar - lin. unabhägigkeit

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum einer Funktionsschaar - lin. unabhägigkeit
Guten Abend,

hier eine Übungsaufgabe, mit der ich nicht wirklich etwas anzufangen weiß:

W sei der Vektorraum der Funktionen,
Zitat:
Aufgabe: Ist W lin. unabhängig oder nicht?


Ansatz: keiner
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn lineare Unabhängigkeit für eine unendliche Menge definiert?

Das sollte man sich zuerst klarmachen.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

z.B. auf die Menge der Vektoren bezogen , welche ja unendlich sein kann, gilt als Bedingung für die lin. unabhängigkeit, dass der Nullvektor nur trivial dargestellt werden kann:
, sodas git:

klar funktionen können auch vektoren sein, aber ich kanns mir irgendwie nicht vorstellen, bzw. noch nichts mit dieser komischen fallunterscheidung anfangen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Definition für die lineare Unabhängigkeit einer endlichen Menge.

In deinem Fall könnte die Menge nicht unendlich werden, da wir nicht einfach unendlich viele Vektoren summieren können, dafür bedarf es einem Konvergenzbegriff, welchen wir in einem Vektorraum erstmal noch gar nicht haben.

Die Definition ist aber zum Glück denkbar einfach:

Ein unendliche Menge heißt linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist.

Du nimmst dir also eine beliebige endliche Teilmenge , wobei wir von ausgehen können.

Nun nimm dir eine Linearkombination, die 0 wird:



Werte diese (beachte: Auf der rechten Seite steht eine Funktion,. wir können also einfach mal einen Wert einsetzen) nun an der Stelle aus.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

nun gut klingt alles gut soweit, aber muss ich nicht mit den Bildern arbeiten? Ich weiß zwar, dass die Funktion von R nach R läuft , aber ich kenne keinerlei abbildungsvorschrift. Ist in diesem Fall die bijektivität anzunehmen? 0-->0, 1--->1 ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinio
Ich weiß zwar, dass die Funktion von R nach R läuft , aber ich kenne keinerlei abbildungsvorschrift.


Die Abbildungsvorschrift steht doch da. verwirrt

Was ist denn z.b. ? Und was ist ?
 
 
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

ach sooo ist das gemeint ahhhh Big Laugh selten dämlich!

ja ne dann ist mir das jetzt klar Big Laugh

, da r > x =0

, da r < x = 1

ich komme oft nicht auf die "dümmsten" sachen ... das wird mir noch in der klausur den hals brechen... oder meine konz. ist für heute nicht mehr da.

Zitat:
Du nimmst dir also eine beliebige endliche Teilmenge , wobei wir von ausgehen können.Nun nimm dir eine Linearkombination, die 0 wird:


Okay wird gemacht. darf ich mir ein konstantes r wählen? z.B. 2 ? im grunde ist es ja dann nur so, dass mit höhrem "r-Grad" so nenne ich es mal mehr Nullen exestieren als bei kleineren, z.B.




mit konstantem r , sei r=2, betrachte ich dann also die teilmengen und versuche eine LK für den Nullvektor zufinden:

= = Daraus folgt: Also eine triviale Darstellung des Nullvektors, d.h. linear unabhängig.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das am Anfang ist nun richtig.

Aber danach macht es wenig Sinn. Du kannst dir kein konkretes r wählen. Und schon kann gar nicht annehmen, dass die 's alle gleich sind. Im Gegenteil: Wir nehmen uns doch s verschiedenen Funktionen aus W.


Fange nochmal hier an:

Zitat:
Original von tmo

Nun nimm dir eine Linearkombination, die 0 wird:



Werte diese (beachte: Auf der rechten Seite steht eine Funktion,. wir können also einfach mal einen Wert einsetzen) nun an der Stelle aus.


Was ist denn ? Was ist ? und so weiter...
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum einer Funktionsschaar - lin. unabhägigkeit


sin wir hier in nen allgemeinen funktionenraum oder nur in den raum der funktionen ?
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