Banachscher Fixpunktsatz |
23.02.2012, 11:09 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Banachscher Fixpunktsatz ich höre im moment differentialgleichungen. dazu ist auf meinem ÜB ne aufgabe zum banachschen fixpunktsatz und ich hab keine ahnung..... geben sie eine abbildung F an, deren fixpunkt lösung des anfangswertproblems u'(t)=u(t)+t, u(0)=0 ist und bestimmen sie ein intervall I c R, auf dem die abbildung F nach dem banachschen fixpunktsatz genau eine lösung hat.. kann mir jemand weiterhelfen??? |
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23.02.2012, 11:25 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Stichwort ist hier Picard-Iteration. Sollte die nicht explizit zu finden sein, schau mal im Beweis zum Satz von Picard-Lindelöff. |
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23.02.2012, 16:04 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich hab mir gerade mal den satz angeschaut, aber mit dem komm ich auch nicht weiter - wir hatten den auch noch nicht in der VL. mein tutor hat zu der aufg gemeint, dass wir den banachschen fixpunktsatz und die existenz und eindeutigkeit de kinearen anfangswertproblems anschauen sollen. ich hab mir überlegt, wenn ich 0 als fixpunkt nehme und dann die funktion f(x)=5x nehme.. hat die funktion doch nur einen fixpunkt oder??? |
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23.02.2012, 23:46 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du solltest auch nicht auf den Satz, sondern auf den Beweis schauen...
Das muss ich jetzt nicht verstehen oder? Weißt du überhaupt, was der Banachsche-Fixpunksatz aussagt? Wenn nicht: Nachschauen! f(x) = 5x hat einen Fixpunkt, ja, aber das hat absolut null mit deiner Aufgabe zu tun. |
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24.02.2012, 11:05 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn ich die funktion f(x)= 0,5x nehm, hat sie doch genau einen fixpunkt, weil die bedingung gilt. d.h ,das gilt weil L < 1 sein muss.... hab den beweis angeschaut, aber ich blicks nich.... |
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24.02.2012, 11:47 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für die Funktion f(x) = 0.5x ist das richtig, aber was hat das mit deiner Aufgabe zu tun? Du musst jetzt irgendwie versuchen, aus deiner DGL eine Funktion F zu finden, sodass F(u) = u gilt und wenn F eine Kontraktion und eine Selbstabbildung ist, kannst du über den Fixpunktsatz die Existenz und Eindeutigkeit zeigen. |
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24.02.2012, 12:01 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Darf ich mal ungebeten miträtseln? Ich vermute mal, euer Prof zielt auf die homogene Lösung ab: u' = u F(u) = u' Mit u = e^t wäre für alle komplexen t ein Fixpunkt F(u) = u Aber lass da nochmal jmd drüber sehen... Die spezielle Lösung findest du durch den Ansatz = a*t+b Gruß |
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24.02.2012, 14:13 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja klar, ich bin froh um jeden tipp also u'(t)=u(t)+t ,u(0)=0 ist ja gegeben wenn ich jetzt u bilde, ist das u(t) = und kann ich das als f(u) bezeichnen? also f(u)=u(t) =....siehe oben also bei den integralen soll unten t0 stehen |
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24.02.2012, 14:26 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ein Integral von t0 bis t... oder a bis b oder unbestimmt... u ist das Integral über u'(t) Gelöst wird diese gewöhnliche DGL aber mit Variablentrennung und man erhält u(t)=e^t als homogene Lösung, weil dann tatsächlich u'=u ist. (Ableitung nach t) Wenn F(u)=u' die Abbildung der Differenzierung ist würde es theoretisch laufen wie in meinem vorigen Posting. Die vollständige Lösung hat noch eine spezielle (s. voriges...) Off für 30 min |
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24.02.2012, 14:37 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also, dass u'=u =e^t ist, ist klar was meinst du mit der speziellen lösung? mein u' ist ja gegeben als u'=u+t d.h. das u wäre u=e^t +0,5*t² |
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24.02.2012, 15:09 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein Für die homogene Lösung haben wir ja angesetzt u'-u=0 --> Eine spezielle Lösung s' - s = t (1) wird also wahrscheinlich t linear enthalten Ansatz: s(t)=a*t+b s' = a Mit (1) gilt a - a*t-b = t Dann ist a=-1 und b=a=-1 --> s=... Gesamtlösung: Allerdings war die Gesamtlösung wohl gar nicht verlangt. |
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24.02.2012, 15:16 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
d.h. meine abbildung F ist F(u)= e^t bzw F(u)=e^t +t und jetzt ist noch z.z. dass die abbildung nach dem banachschen fixpunktsatz genau eine lösung hat, oder?? und wie wähle ich das intervall? eig ist das ja beliebig. könnte ich dann einfach z.B. I=[-5,50] nehmen?? |
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24.02.2012, 15:27 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Gesamtlösung löst das AWP u(0)=0 Für t=0 gilt zumindest F(u)=u mit der Abbildung F(u)=u'. Kann aber gut sein dass der Prof noch was anderes im Schilde führt... |
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24.02.2012, 15:31 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einen Moment mal. Es geht hier nicht darum, die Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen, sondern man will die Existenz und Eindeutigkeit für ein möglichst grosses Intervall um 0 zeigen - das kann man beides gleichzeitig mithilfe des Banachschen Fixpunktsatzes zeigen. @Susi101: Du hattest oben schon einmal die goldrichtige Idee:
Du willst also die Abbildung mit betrachten. Das ist genau was man im Beweis vom Satz von Picard-Lindelöf macht. Nun musst du noch einen geeigneten Raum finden (ein Teilraum der stetigen Funktionen eignet sich z.B.), sodass eine Selbstabbildung ist und kontrahierend (und so dass dieser Teilraum vollständig ist) |
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24.02.2012, 15:37 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
vielen dank okay also d-h. meine funktion hab ich jetzt. wie finde ich einen geeigneten raum?? |
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24.02.2012, 15:51 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hab jetzt mal versucht mit dem BFS zu zeigen, dass es genau einen fixpkt gibt. f(u) haben wir ja für alle u,v gilt ( f(u)-f(v))(t) = also gilt |f(u)-f(v)| <= L*|u-v| , L<1 nur was ist L? |
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24.02.2012, 17:10 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Wenn du nun ein Intervall mit betrachtest (wie die a,b zu bestimmen sind, wird sich wohl später noch rausstellen, aber nehmen wir einfach mal an, wir würden sie schon kennen), sodass wir nur zulassen (dies wird nachher das gesuchte Intervall, auf welchem wir Eindeutigkeit und Existenz der Lösung garantieren können!). Wie kannst du dann abschätzen durch ? Dazu musst du dich nun auch erstmal fragen, welche Norm du auf deinem Raum nehmen willst. (Es gibt eine ziemlich offensichtliche Wahl, da wir uns stetige Funktionen anschauen...) |
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24.02.2012, 20:12 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
die maximumsnorm oder? ist L=(b-a)?? |
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24.02.2012, 20:47 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja.
Wenn du das gezeigt hast, dann wird das schon richtig sein (es gibt zwar noch bessere Abschatzungen, aber diese sollte ausreichen). |
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24.02.2012, 21:18 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok perfekt, danke ich soll ja jetzt noch ein intervall bestimmen. im prinzip kann ich doch einfach ein beliebiges nehmen, oder? also z.B. I=[-5,50] |
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24.02.2012, 22:31 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schau dir nochmal den Banachschen Fixpunktsatz an: Da wird nicht bloss gefordert, dass f Lipschitzstetig ist! Mit einem guten Intervall sollte sich die Aufgabe jedoch dann damit erledigt haben. |
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24.02.2012, 23:04 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
man muss noch zeigen, dass für jedes die folge mit =f() gegen den fixpunkt konvergiert. aber was hat das mit dem intervall zu tun? |
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24.02.2012, 23:05 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was sind denn die Voraussetzungen für den BFS? |
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24.02.2012, 23:14 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kontaktion und selbstabbildend? |
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24.02.2012, 23:15 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, wenn du die beiden mit deinem Intervall sichergestellt hast, bist du fertig. |
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24.02.2012, 23:16 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, und wie macht man so was? |
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24.02.2012, 23:22 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
L, also die lipschitzkonstante, kann ja nur zwischen 0 und 1 liegen |
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25.02.2012, 10:45 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... Das verstehe ich nun wirklich nicht. Du hast
und dann schreibst du
Was ist denn für dieses Intervall nun ?
Rly? |
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25.02.2012, 10:49 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich verstehs einfach nicht... L muss zwischen 0 und 1 liegen, also auch b-a?? also I=[0,1] |
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25.02.2012, 11:14 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du musst haben um den BFS anwenden zu können. Nein, [0,1] ist kein gutes Intervall, denn erstens: a soll doch <0 sein. Und zweitens: du brauchst eine Kontraktion. Mit deiner Abschätzung würdest du für deinen neuen Vorschlag doch bloss die Abschätzung bekommen. Das reicht nicht. |
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25.02.2012, 11:23 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also wenn ich a=-1 nehm und b=0, dann liegt L zwar zw 0 und 1, aber ich hätte dann wieder die selbe abschätzung. wenn ich b=5 oder so nehme, dann würde L ja nicht mehr zwischen 0 und 1 liegen ??? |
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25.02.2012, 12:21 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie wärs mit |
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25.02.2012, 12:28 | Susi101 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ach ja natürlich, das passt vielen dank |
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