Banachscher Fixpunktsatz

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Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz
Hallo zusammen,
ich höre im moment differentialgleichungen. dazu ist auf meinem ÜB ne aufgabe zum banachschen fixpunktsatz und ich hab keine ahnung..... verwirrt

geben sie eine abbildung F an, deren fixpunkt lösung des anfangswertproblems u'(t)=u(t)+t, u(0)=0 ist und bestimmen sie ein intervall I c R, auf dem die abbildung F nach dem banachschen fixpunktsatz genau eine lösung hat..


kann mir jemand weiterhelfen???
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Das Stichwort ist hier Picard-Iteration. Sollte die nicht explizit zu finden sein, schau mal im Beweis zum Satz von Picard-Lindelöff.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mir gerade mal den satz angeschaut, aber mit dem komm ich auch nicht weiter - wir hatten den auch noch nicht in der VL.
mein tutor hat zu der aufg gemeint, dass wir den banachschen fixpunktsatz und die existenz und eindeutigkeit de kinearen anfangswertproblems anschauen sollen.

ich hab mir überlegt, wenn ich 0 als fixpunkt nehme und dann die funktion f(x)=5x nehme.. hat die funktion doch nur einen fixpunkt oder???
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Susi101
ich hab mir gerade mal den satz angeschaut, aber mit dem komm ich auch nicht weiter - wir hatten den auch noch nicht in der VL.

Du solltest auch nicht auf den Satz, sondern auf den Beweis schauen...


Zitat:
ich hab mir überlegt, wenn ich 0 als fixpunkt nehme und dann die funktion f(x)=5x nehme.. hat die funktion doch nur einen fixpunkt oder???

Das muss ich jetzt nicht verstehen oder?
Weißt du überhaupt, was der Banachsche-Fixpunksatz aussagt? Wenn nicht: Nachschauen!

f(x) = 5x hat einen Fixpunkt, ja, aber das hat absolut null mit deiner Aufgabe zu tun.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die funktion f(x)= 0,5x nehm, hat sie doch genau einen fixpunkt, weil die bedingung gilt. d.h ,das gilt weil L < 1 sein muss....

hab den beweis angeschaut, aber ich blicks nich....
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Funktion f(x) = 0.5x ist das richtig, aber was hat das mit deiner Aufgabe zu tun?

Du musst jetzt irgendwie versuchen, aus deiner DGL eine Funktion F zu finden, sodass F(u) = u gilt und wenn F eine Kontraktion und eine Selbstabbildung ist, kannst du über den Fixpunktsatz die Existenz und Eindeutigkeit zeigen.
 
 
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich mal ungebeten miträtseln?

Ich vermute mal, euer Prof zielt auf die homogene Lösung ab:
u' = u
F(u) = u'
Mit u = e^t wäre für alle komplexen t ein Fixpunkt F(u) = u

Aber lass da nochmal jmd drüber sehen...

Die spezielle Lösung findest du durch den Ansatz = a*t+b

Gruß
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, ich bin froh um jeden tipp smile

also

u'(t)=u(t)+t ,u(0)=0 ist ja gegeben

wenn ich jetzt u bilde, ist das

u(t) =

und kann ich das als f(u) bezeichnen? also f(u)=u(t) =....siehe oben
also bei den integralen soll unten t0 stehen
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ein Integral von t0 bis t... oder a bis b oder unbestimmt...
u ist das Integral über u'(t)

Gelöst wird diese gewöhnliche DGL aber mit Variablentrennung und man erhält u(t)=e^t als homogene Lösung, weil dann tatsächlich u'=u ist. (Ableitung nach t)

Wenn F(u)=u' die Abbildung der Differenzierung ist würde es theoretisch laufen wie in meinem vorigen Posting.

Die vollständige Lösung hat noch eine spezielle (s. voriges...)


Off für 30 min
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

also, dass u'=u =e^t ist, ist klar

was meinst du mit der speziellen lösung?
mein u' ist ja gegeben als u'=u+t
d.h. das u wäre u=e^t +0,5*t²
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Nein

Für die homogene Lösung haben wir ja angesetzt
u'-u=0 -->

Eine spezielle Lösung s' - s = t (1)
wird also wahrscheinlich t linear enthalten

Ansatz: s(t)=a*t+b
s' = a
Mit (1) gilt
a - a*t-b = t
Dann ist a=-1 und b=a=-1
--> s=...
Gesamtlösung:

Allerdings war die Gesamtlösung wohl gar nicht verlangt.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. meine abbildung F ist F(u)= e^t bzw F(u)=e^t +t

und jetzt ist noch z.z. dass die abbildung nach dem banachschen fixpunktsatz genau eine lösung hat, oder??
und wie wähle ich das intervall? eig ist das ja beliebig. könnte ich dann einfach z.B. I=[-5,50] nehmen??
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gesamtlösung löst das AWP u(0)=0
Für t=0 gilt zumindest F(u)=u mit der Abbildung F(u)=u'.

Kann aber gut sein dass der Prof noch was anderes im Schilde führt...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Moment mal. Es geht hier nicht darum, die Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen, sondern man will die Existenz und Eindeutigkeit für ein möglichst grosses Intervall um 0 zeigen - das kann man beides gleichzeitig mithilfe des Banachschen Fixpunktsatzes zeigen.

@Susi101: Du hattest oben schon einmal die goldrichtige Idee:

Zitat:
u'(t)=u(t)+t ,u(0)=0 ist ja gegeben

wenn ich jetzt u bilde, ist das



und kann ich das als f(u) bezeichnen? also f(u)=u(t) =....siehe oben
also bei den integralen soll unten t0 stehen


Du willst also die Abbildung mit



betrachten. Das ist genau was man im Beweis vom Satz von Picard-Lindelöf macht. Nun musst du noch einen geeigneten Raum finden (ein Teilraum der stetigen Funktionen eignet sich z.B.), sodass eine Selbstabbildung ist und kontrahierend (und so dass dieser Teilraum vollständig ist)
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen danksmile
okay smile
also d-h. meine funktion hab ich jetzt.
wie finde ich einen geeigneten raum??
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt mal versucht mit dem BFS zu zeigen, dass es genau einen fixpkt gibt.
f(u) haben wir ja

für alle u,v gilt

( f(u)-f(v))(t) =

also gilt
|f(u)-f(v)| <= L*|u-v| , L<1

nur was ist L?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
( f(u)-f(v))(t) =


Ok. Wenn du nun ein Intervall mit betrachtest (wie die a,b zu bestimmen sind, wird sich wohl später noch rausstellen, aber nehmen wir einfach mal an, wir würden sie schon kennen), sodass wir nur zulassen (dies wird nachher das gesuchte Intervall, auf welchem wir Eindeutigkeit und Existenz der Lösung garantieren können!). Wie kannst du dann abschätzen durch ?

Dazu musst du dich nun auch erstmal fragen, welche Norm du auf deinem Raum nehmen willst. (Es gibt eine ziemlich offensichtliche Wahl, da wir uns stetige Funktionen anschauen...)
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

die maximumsnorm oder?
ist L=(b-a)??
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
die maximumsnorm oder?


Ja.

Zitat:
ist L=(b-a)??


Wenn du das gezeigt hast, dann wird das schon richtig sein (es gibt zwar noch bessere Abschatzungen, aber diese sollte ausreichen).
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ok perfekt, danke smile
ich soll ja jetzt noch ein intervall bestimmen. im prinzip kann ich doch einfach ein beliebiges nehmen, oder? also z.B. I=[-5,50]
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich soll ja jetzt noch ein intervall bestimmen. im prinzip kann ich doch einfach ein beliebiges nehmen, oder? also z.B. I=[-5,50]


Schau dir nochmal den Banachschen Fixpunktsatz an: Da wird nicht bloss gefordert, dass f Lipschitzstetig ist!

Mit einem guten Intervall sollte sich die Aufgabe jedoch dann damit erledigt haben.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

man muss noch zeigen, dass für jedes die folge mit =f() gegen den fixpunkt konvergiert.

aber was hat das mit dem intervall zu tun?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn die Voraussetzungen für den BFS?
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

Kontaktion und selbstabbildend?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du die beiden mit deinem Intervall sichergestellt hast, bist du fertig.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, und wie macht man so was?
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

L, also die lipschitzkonstante, kann ja nur zwischen 0 und 1 liegen
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

... Das verstehe ich nun wirklich nicht. unglücklich

Du hast

Zitat:
ist L=(b-a)??


und dann schreibst du

Zitat:
ich soll ja jetzt noch ein intervall bestimmen. im prinzip kann ich doch einfach ein beliebiges nehmen, oder? also z.B. I=[-5,50]


Was ist denn für dieses Intervall nun ?

Zitat:
L, also die lipschitzkonstante, kann ja nur zwischen 0 und 1 liegen


Rly?
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehs einfach nicht...
L muss zwischen 0 und 1 liegen, also auch b-a?? also I=[0,1]
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst haben



um den BFS anwenden zu können.
Nein, [0,1] ist kein gutes Intervall, denn erstens: a soll doch <0 sein.
Und zweitens: du brauchst eine Kontraktion. Mit deiner Abschätzung würdest du für deinen neuen Vorschlag doch bloss die Abschätzung



bekommen. Das reicht nicht.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich a=-1 nehm und b=0, dann liegt L zwar zw 0 und 1, aber ich hätte dann wieder die selbe abschätzung. wenn ich b=5 oder so nehme, dann würde L ja nicht mehr zwischen 0 und 1 liegen ???
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs mit
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja natürlich, das passt smile
vielen dank smile
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