Polynomiale Funktionen als Vektorraum

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomiale Funktionen als Vektorraum
Guten Morgen/Mittag,

habe eine Frage zu einer Aufgabe. Es ist mir in diesem Fall eine Menge von Polynomfunktionen des Grades < n gegeben. Ich soll zeigen, dass diese Menge, sei sie P genannt, einen Untervektorraum bildet.

Eigentlich eine ganz gut zulösenden Aufgabe, da ja nur die zwei Kritierien zu beweisen sind.
  • Abgeschlossenheit bzgl. der Addition
  • Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Skalaren


Mir stellt sich aber die frage, wie kann ich denn nun beginnen damit?
Meine Idee:
Wähle mir ein beliebiges n , sei dieses nun n=3 , also eine Polynomfunktion des grades 3.
D.h. alle Funktionen haben eine kubische Form:

Mal an einem prkatischen Beispiel ausprobiert, mit zwei weiteren Annahme, dass alle Skalare auf den Wert 1 gesertzt werden können unter der gegebenen Vorraussetzung ( alpha element aus R) und dass x in einem Fall 3 und in dem anderen 4 ist:



Bin ich auf dem Holzweg?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen! smile

Ja, du bist ein wenig auf dem Holzweg. In der Algebra sind Polynome keine Funktionen, man setzt dort nichts für das x ein. Üblicherweise schreibt man das x auch groß, X. Algebra ist was sehr abstraktes, deswegen möchten Algebraiker so etwas konkretes wie Zahlen einsetzen nicht machen. Big Laugh

Fangen wir mal mit der Abgeschlossenheit an, du hast zwei Polynome. und . Wenn du die nun addierst ... ist das dann wieder ein Polynom maximal dritten Grades? Dafür brauchst du die Definition der Addition von Polynomen. Aber das geht ganz natürlich: Koeffizienten addieren.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

hey danke für die schnelle antwort:

aber sicherlich nur koeffizienten von polynomen gleichen grades oder ? - also ich mein die koeffizienten die jeweils der gleichen potenz angehören.
wäre meine Lsg.

EDIT: ja das wäre dann wieder ein pol. dritten grades!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Das wäre wieder ein Polynom dritten Grades. Aber das ist nur ein Beispiel, wir brauchen es allgemein. Dass man übrigens Koeffizienten der gleichen Potenz addiert, scheint vollkommen logisch, jeder würde das so machen und deswegen wird es auch so definiert.

Also, nehmen wir mal zwei Polynome, und . Berechne und stelle fest, ob das immer ein Polynom maximal vom Grad 3 ist.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

habs mal so probiert:


wobei oder so, ich will das zusammengefasst bekommen, daran sieht man auch es ist wieder ein pol. dritten grades.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

So

Zitat:
Original von martinio
[...]



gefällt das besser. Augenzwinkern Das n außen zu setzen, wäre sehr unüblich. Schreib es lieber so wie im Zitat.

Ist das jetzt ein Polynom? Warum? Wie sieht es mit den Skalaren aus?
 
 
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

ein polinom scheint es zu sein, es richtet sich nach dem höchsten exponenten , hier z.B. Grad = 3. Die Skalare (=Koeffizienten) summieren sich auf, wobei positive als auch negative Werte möglich sind - was ja auch so sein soll!

EDIT: Warum ein Polynom? Es hat sich ja nichts an der Struktur verändert, der Term wird höchstens noch durch Variablen ( X's) verlängert, ansonsten ändrn sich nur die Koeffizienten.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Grad geht klar. Freude

Der Knackpunkt ist aber folgender:

Die Koeffizienten der beiden Polynomen sind aus IR, sind es dann auch die der Summe? Warum?

Stell dir vor, ich sag dir, die Koeffizienten dürften nur aus IN stammen. Dann wäre das kein (!!) Vektorraum, denn und sind Polynome mit Koeffizienten aus IN, aber die Differenz (=spezielle Summe) ist und hier sind nicht alle Koeffizienten aus IN. Warum geht das bei deinem Beispiel nicht schief? Dafür brauchst du nur mir nur ein Wort vor die Füße werfen. Augenzwinkern
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

ein wort nur ? verwirrt vll. die Null? diese ist in der Menge der natürlichen Zahlen nicht definiert, daher sind die nat. Zahlen auch kein Körper.
Ich könnte mir aber auch vorstellen, dass das was mir dir endlich-dimensionalität zutun haben könnte...
smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Wort genannt.

Zitat:
Original von martinio
[...] Körper. [...]


IR ist ein Körper. Deswegen sind die addierten Koeffizienten auch wieder reell.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Anmerkung:
Es ist nicht die Addition, die hier einen Körper erfordert. (N, +) ist ein Moinoid/Halbgruppe (wie man N gerade definiert), und damit ebenfalls abgeschlossen bzgl. Addition.
Die Differenz spielt da keine Rolle, da du mit spezieller Summe meintest mit dem additiven Inversen zu addieren - das gibt es allerdings in N ist. Ähnlich könnte man argumentieren die reellen Zahlen sind nicht "abgeschlossen", da X + i X kein reellen Polynom mehr darstellt.

Was einem wirklich den Hals brechen kann, sind die skalare aus dem Grundkörper - wenn es die rationalen Zahlen (im gewissen Sinne der kl. Körper) sind, ist sofort die -1 dabei, und damit Probleme.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Anmerkung. Stimmt natürlich. Wollte nur irgendwie das Wort Körper aus martinio kitzeln und da fiel mit ein klassischer Nichtkörper ein.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie kann ich jedoch die probleme momentan nicht ganz nachvollziehen.
Was zu zeigen ist, dass die Menge der polynomialen Funktionen einen Untervektorraum aufspannen. Also muss ich ja nichts anderes tun, als die Vektorraumaxiome durchzugehen. Wenn ich meine Skalare, also die Koeffizienten vor den Variablen (X1....Xn) , auf der Menge der reellen Zahlen IR definieren, wo ist denn da das problem?
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas offtopic

@IfindU
Erläre mir mal, wo es grundlegend Probleme mit einem VR über Q gibt, speziell was die -1 angeht. - Das nächstallgemeinere nach einem Körper ist IMO ein (kommutativer) Ring (mit 1) und dem fehlt es zum Körper an den Einheiten bzw. an Nullteilerfreiheit. Letzteres bedeutet, dass ein einzelner Vektor nicht mehr lin. unabh. ist und allg., dass "Basis" ein anderes Verständnis erfordert.

@allg.
Die Probleme von 'martinio' kann ich nachvollziehen. - Bei irgendeiner Menge ist stets die Frage, wann 2 Elemente gleich sind.
Bei einem Polynom-VR über einem Körper F habe ich im alg. Sinne (Koeff.Vgl.) unendlich viele Elemente. Definiere ich jedoch die Gleichheit 2-er Polynome p,q durch p ~ q : <=> p(x) = q(x) für alle x € F, so ist dies eine Äquiv.Rel. auf dem vorherigen Raum und dieser hat bei |F|=n dann n^n Elemente.

Nehmen wir den Körper F={0;1}. p= X^7 + X^5 + X ist Polynom 7-ten Grades, aber es ist p = id (mit ~ für =), also p(x)= x für alle x € F (wie man durch p(0)=0, p(1)=1 prüft). In diesem ~Raum ist {1;X} eine Basis, in der alg. ist eine Basis nicht mal endlich...

Edit @'martinio':
Ein VR ist eine Menge mit ein paar Rechenregeln. Du überlegst Dir nur, wann zwei x,y € VR gleich sind. In Deinem Fall ist das der Koeff.Vgl. - Fertig.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinio
Wenn ich meine Skalare, also die Koeffizienten vor den Variablen (X1....Xn) , auf der Menge der reellen Zahlen IR definieren, wo ist denn da das problem?


Nirgends. Du musst aber wie gesagt begründen, warum die Summe der Koeffizienten wieder reell ist. Das ist sie aber, weil IR ein Körper ist. Wenn du das sagst, dann ist alles in Ordnung. Mach dir noch mal klar, warum kein (!!) -Vektorraum oder eben - Vektorraum (das sprach IfindU an) ist.

Edit: Warum wir jetzt über Gleichheit diskutieren, verstehe ich übrigens nicht. verwirrt
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

@cel
... weil ein VR eine Menge ist und ich mich als allererstes frage, über welche Elemente ich spreche, d.h., wie sie sich unterscheiden.

Dazu: Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. - Insofern versuche (18:54) unter @allg zu begreifen, bitte.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay habs jetzt verstanden. danke sehr! smile
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