Orthogonale Matrix

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18.01.2007, 15:15	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrix Bestimme zur Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} B^{T} AB \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix wird, deren Diagonalelemente die Eigenwerte der Matrix A sind: Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & -8 & 10 \\ -8 & 11 & 2 \\ 10 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich versteh absolut nich, was ich hier machen soll...kann mir bitte jemand weiterhelfen? Danke im Vorraus
18.01.2007, 15:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrix Es soll ein Basiswechsel gemacht werden, so dass die darstellende Matrix des Endomorphismus Diagonalgestalt hat. Dabei soll eine Orthogonale Matrix verwendet werden. Was mich noch irritiert, soll die Matix nicht symmetrisch sein? Wie lauten die Eigenwerte von A?
18.01.2007, 15:52	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind (-9,9,18) Wie gehts nun weiter? ^^ich hab kein Wort von dem Beitrag verstanden
18.01.2007, 15:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal die Frage, A ist nicht symmetrisch?
18.01.2007, 15:55	PsychoCat	Auf diesen Beitrag antworten »
A ist doch symmetrisch, 3x3
18.01.2007, 15:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo? seit wann ist 10 = 19?
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18.01.2007, 15:59	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
A ist symmetrisch! 3x3 Wo soll 10 = 19 sein?
18.01.2007, 15:59	PsychoCat	Auf diesen Beitrag antworten »
naja in Z/3Z.. sry hab symmetrisch mit quadratisch verwechselt edit: und du auch
18.01.2007, 16:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Markus, schau Dir bitte deine Matrix an sage aus welchem Vektorraum sie stammt und prüfe ob gilt $\begin{eqnarray} a_{ij}=a_{ji} \end{eqnarray}$ für alle i,j aus 1,2,3
18.01.2007, 16:03	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das gilt natürlich nich ^^habs auch mit einer quadratischen verwechselt... EDIT: die 19 soll eine 10 sein...Schreibfehler...Sorry ...also doch symmetrisch
18.01.2007, 16:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dann haben wir's doch schon. Manche kennen den benötigten Satz als Hauptachsentransformation manche als Spektralsatz. Dieser stellt sicher, dass die orthoganle Matrix B mit der geforderten Bedingung existiert. Suche im Netz oder Board. Das war schon öfter da. Bestimmung: - Eigenwerte - Eigenvektoren berechnen (sind orthogonal) - Normierung der Eigenvektoren als Spalten von B schreiben. Hauptachsentransformation Diagonalisierbar
18.01.2007, 17:01	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Eigenvektoren normiert hab ich jetzt auch raus: Eigenvektor zu -9 : $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenvektor zu 9 : $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenvektor zu 18 : $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nur wie muss ich jetzt fortfahren, bzw. was is überhaupt gesucht...ich versteh das überhaupt nicht
18.01.2007, 17:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
As I said... Schreibe die Eigenvektoren als Spalten der MAtrix B, transponiere B und berechne $\begin{eqnarray} B^TAB \end{eqnarray}$ Dann kommt die Diagonalmatrix raus
18.01.2007, 17:26	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok...jetz versteh ich,was ich machen soll... ...gibts da nen Trick, bei der Matrixmultiplikation?Sonst is das ja ganz schön aufwendig...
18.01.2007, 17:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, dass musst Du von Hand machen. Da mussten wir alle durch (Oder du besorgst Dir mal ein Programm wie derive, matlab oder maple)
18.01.2007, 17:58	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 45 & -72 & 90 \\ -72 & 99 & 18 \\ 90 & 18 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 9 \begin{pmatrix} 5 & -8 & 10 \\ -8 & 11 & 2 \\ 10 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hab ich als Lösung raus!
18.01.2007, 18:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast Du dich verrechnet. Ich hab's mit matlan nachgerechnet, es kommt die Diagonalmatrix diag(-9,9,10) raus
18.01.2007, 18:14	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs grad nochmal nachgerechnet...aber komm nich drauf ...zuerst $\begin{eqnarray} B^{T} A \end{eqnarray}$ und diese Matrix dann nochmal $\begin{eqnarray} * B \end{eqnarray*}$ ? Habs mit dem Falk'schen Schema gerechnet...
18.01.2007, 18:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B^TAB \end{eqnarray}$ Matlab Protokoll mit $\begin{eqnarray} C:=B^T \end{eqnarray}$ A=[5 -8 10;-8 11 2;10 2 2] A = 5 -8 10 -8 11 2 10 2 2 >> B=1/3[-2 1 2; -1 2 -2;2 2 1] B = -0.6667 0.3333 0.6667 -0.3333 0.6667 -0.6667 0.6667 0.6667 0.3333 >> C=1/3[-2 -1 2;1 2 2;2 -2 1] C = -0.6667 -0.3333 0.6667 0.3333 0.6667 0.6667 0.6667 -0.6667 0.3333 >> CAB ans = -9.0000 0 0 0 9.0000 0 0 0 18.0000 Keine Ahnung was das Falksche Schema ist
18.01.2007, 18:24	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt weiß ich, wo mein Fehler liegt...ich hab nicht die normierten Eigenvektoren eingesetzt sondern die ursprünglichen!
18.01.2007, 18:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann!
18.01.2007, 18:39	MarkusEL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe...

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