Bedingte Wahrscheinlichkeit

24.02.2012, 11:50

Slash123

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Hallo,

irgendwie habe ich noch Schwierigkeiten bei bedingten Wahrscheinlichkeiten. Ich hänge an folgender Aufgabe:

Zitat:

Ein Medikament in Tablettenform zeigt unabhängig voneinander zwei Wirkungen: die nicht sofort erkennbare Heilwirkung mit Wahrscheinlichkeit 80% und die sofort erkennbare Nebenwirkung mit Wahrscheinlichkeit 30%. Durch ein Versehen bei der Herstellung haben 1% der Tabletten äußerlich nicht feststellbar eine falsche Dosierung mit den Wahrscheinlichkeiten 20% für die Heilwirkung und 50% für die Nebenwirkung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man auf Heilwirkung rechnen, wenn
a) die Nebenwirkung eintritt,
b) die Nebenwirkung ausbleibt?

$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ = Heilwirkung
$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ = Nebenwirkung
$\begin{eqnarray*} H_R \end{eqnarray*}$ = Heilwirkung mit richtiger Dosierung
$\begin{eqnarray*} H_F \end{eqnarray*}$ = Heilwirkung mit falscher Dosierung
$\begin{eqnarray*} N_R \end{eqnarray*}$ = Nebenwirkung mit richtiger Dosierung
$\begin{eqnarray*} N_F \end{eqnarray*}$ = Nebenwirkung mit falscher Dosierung

Zu berechnen ist ja $\begin{eqnarray*} P(H|N) \end{eqnarray*}$ (bei Teilaufgabe (a)).
Mir ist auch klar, dass man den Satz von Bayes verwenden muss, allerdings weiß ich nicht, wie ich ihn verwenden muss, damit es zu was führt. Also konkret: wie muss ich die Partition von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ wählen, damit es was bringt.

Ich habe mir jetzt überlegt, dass ich wohl $\begin{eqnarray*} P(H_R|N_R) + P(H_F|N_F) \end{eqnarray*}$ berechnen muss.

Nur wie mach ich das sinnvollerweise? Alle Sachen bei mir führen irgendwie nicht wirklich zu etwas. Könnt ihr mir vielleicht ein klein wenig helfen?

24.02.2012, 12:36

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Du könntest mal damit anfangen, dir die Sachverhalte in einem Baumdiagramm darzustellen.

24.02.2012, 12:48

Slash123

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Danke für Deine Antwort.

Ich habe das jetzt mal gemacht; kann es aber natürlich schwer hier darstellen. Aber ich denke, dass ich dann bei Teilaufgabe (a) folgendes berechnen muss:

$\begin{eqnarray*} P(N_R)P(H_R) + P(N_F)P(H_F) \end{eqnarray*}$

Ganz unten an der Wurzel des Baumes befinden sich die Ereignisse $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F = \overline{R} \end{eqnarray*}$ für richtige Dosierung und falsche Dosierung. Dann kommen zuerst die jeweiligen Nebenwirkungen und dann die entsprechenden Heilwirkungen.

Ich blicke in diesem ganzen Dschungel irgendwie noch nicht so ganz durch. Ist mein Gedankengang denn wenigstens ein klein wenig richtig?

24.02.2012, 16:15

Math1986

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Zitat:

Original von Slash123
Ganz unten an der Wurzel des Baumes befinden sich die Ereignisse $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F = \overline{R} \end{eqnarray*}$ für richtige Dosierung und falsche Dosierung. Dann kommen zuerst die jeweiligen Nebenwirkungen und dann die entsprechenden Heilwirkungen.

Der Ansatz ist soweit richtig.
Insgesamt hast du ein zweistufiges Baumdiagramm, in der zweiten Stufe wird nach Eintreten der Heilwirkung differenziert.
Was hast du denn somit berechnet?

24.02.2012, 18:08

Slash123

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Ich sehe gerade nicht so, worauf du hinauswillst, tut mir Leid.

Wenn man bei den beiden Summanden, die ich in meinem vorherigen Beitrag stehen habe, noch die Wahrscheinlichkeit für die richtige bzw. falsche Dosierung ranmultipliziert, dann habe ich $\begin{eqnarray*} P(H \cup N) \end{eqnarray*}$ berechnet. Aber ich denke nicht, dass das richtig ist.

24.02.2012, 18:10

Slash123

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Natürlich soll das $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ heißen in meinem vorherigen Beitrag. Habe mich vertippt. smile