Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen

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dududi Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Meine Frage:
Ich habe zwei stetige gleichverteilte Zufallsvariablen, X und Y. Außerdem eine Linearkombination der beiden (1/x + 1/y zum Beispiel). Ich möchte nun wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit meine Linearkombination einen Wert annimmt, der kleiner gleich einem bestimmten Grenzwert ist (z.B. 1/x+1/y < 5).
Meine Frage ist nun: Wie bekomme ich die Verteilungsfunktion abhängig von meinen beiden Zufallsvariablen und der Linearkombination?

Meine Ideen:
Ich komme hier leider nicht ernsthaft weiter. Ich habe mit einem Doppelintegral angefangen, wobei die untere Grenze des einen Integrals die aufgelöste Linearkombination nach einer Zufallsvariable ist und integriere über die multiplizierten einzelnen Dichten. Das ist aber denke ich falsch...
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Die Faltungsformel für die Verteilung der Additionen zweier unabh. ZV lautet:


Für Linearkombinationen zweier identisch verteilter ZV () sowie
gilt:



Für den nicht linearen Fall
gilt entsprechend
sowie

Aber Achtung: Wenn deine Verteilungsfunktionen nicht über ganz durch eine Funktionsgleichung definiert sind, wovon ich mal ausgehe, musst du mit Doppel-Integralen arbeiten, wenn die Funktionsargumente unterschiedlich sind, z.B. ). Das gilt aber nicht für dein Beispiel: hier integrierst du nur einmal über den Definitionsbereich
 
 
Adora Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Erst mal vielen Dank für die Hilfe bisher.

Für mich ist, wie schon angesprochen, der nicht lineare Fall interessant. Was passiert im nicht linearen Fall, wenn ich die Zufallsvariable mit einer Konstanten multipliziere (a/x) mit meiner Verteilungsfunktion?
Wo kommt im nicht linearen Fall meine Grenze in der Verteilungsformel vor?
Hast du einen Tipp für mich, wo ich mich dazu einlesen kann? Ich habe in meinen Büchern hier für den nichtlinearen Fall nichts gefunden und würde mir da gerne was zu anlesen.

Für meinen Fall interpretiere ich deinen Ansatz jetzt so: (meine Zufallsvariablen können nur Werte >0 annehmen)




frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Nehmen wir an, du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass der mit a multiplizierte Kehrwert einer ZV höchstens fünf ergibt, also
Dann überlegst du doch, welchen Wert x annehmen muss, damit die Gleichung erfüllt wird:

Damit kannst du sagen oder allgemein

Du musst immer erst mit der Verteilungsfunktion arbeiten, um dann durch Ableiten auf die Dichtefunktion zu kommen.
Wenn du z.B. wissen willst, wie wahrscheinlich es ist,dass das Vierfache einer ZV 4 ist (also etwa zwischen 3,5 und 4,5), wäre das gleichwahrscheinlich wie es der Fläche zw. 0,875 und 1,125 unter der ZV-Dichte entspricht. Somit verläuft der Graph von flacher als .
Es gilt also:


Adora Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Danke!

Ohne die Lösung anzweifeln zu wollen: Ich habe in der Literatur, die ich mir bisher angesehen habe, die Anwednung der Faltungsformel nur für den klassischen Fall einer Linearkombination gefunden, nicht aber für nicht lineare Fälle wie meiner einer ist. Hättest du einen Tip, wo ich das nachschlagen kann? Buch, Online, Paper...
Adora Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Ich bin hier doch noch einmal auf ein Problem gestossen, dass mich an der Richtigkeit der Verteilungsfunktion zweifeln lässt:
Mich interessiert, was mit meiner Verteilungsfunktion passiert, wenn ich bspw b erhöhe. Intuitiv würde ich sagen, dass die Ableitung der Verteilungsfunktion nach b negativ sein muss, da ich nun ja zu jedem x die Menge an y, die die Ungleichung erfüllen, verkleinere.
Die Ableitung der hier hergeleiteten Fkt für den nichtlinearen Fall ist aber nicht grundsätzlich negativ, sondern nur für sehr bestimmte Fälle. Bei Gleichverteilung zum Beispiel ist sie positiv. Wo ist mein Fehler?
(Für den linearen Fall hingegen ist die Ableitung negativ, schade, dass ich den nicht brauche).
Liegt das Problem darin, dass man hier nicht Falten darf? Oder ist bei der Faltung etwas schief gelaufen?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Die Faltungsformel beschreibt die Summe zweier Verteilungen. Auch in deinem Fall geht es um die Summe zweier Verteilungen. Bei dir muss die vorgegebene Verteilungsfunktion nur abgeändert werden, damit sie deinen Summanden entspricht.

Deine gegebene Verteilungsfunktion sagt ja

Als Beispiel nochmal die Herleitung für die neue Verteilungsfkt. für den Kehrwert:



In einem Lehrbuch würde es genauso drin stehen. Man könnte es auch mit anderen Funktionen machen, z.B. oder auch (s. Log-Normalverteilung)
Um die Richtigkeit zusätzlich zu überprüfen, kann man ja die auf
gleichverteilte ZV
mit , sowie wählen:
gesucht sei nun

Ordnet man jedem (x,y) jeweils den Punkt (x|y) zu, wäre das Auftreten eines jeden Punktes gleichwahrscheinlich. Somit entspricht die helle Fläche oben rechts auf dem Bild der gesuchten Wahrscheinlichkeit.


Nun der Weg über die Faltung:

Der Integrationsbereich muss so gewählt werden, dass die Funktionsargumente von
und nicht außerhalb des Definitionsbereiches landen. Für x>4 ist F nicht mehr def. und x< 2 f nicht mehr. Und keine Angst, ich habe mir die Ergebnisse nicht schöngerechnet, sondern mit Wolfram Alpha ermittelt.

Zitat:
Mich interessiert, was mit meiner Verteilungsfunktion passiert, wenn ich bspw b erhöhe
Dann wird aus die neue Funktion

Die Ableitung von F zu f erfolgt nach x und nicht nach b. Wäre meine Herleitung falsch, hätten sich mit Sicherheit schon Leute gemeldet. Außerdem dürfte bei den 2 Berechnungsmethoden nicht das gleiche Ergebnis herauskommen.
Wenn du immer noch Zweifel hast, kannst du deine Verteilungsfunktion ja mal posten.
Adora Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Die Verteilungsfunktion ist nach deiner Lösung:

Jetzt interessiert mich, wie sich eine Änderung von b auswirkt auf die Verteilungsfunktion:


Damit die Ableitung negativ ist muss eine von den eckigen Klammern negativ sein. Die erste ist es nie, die zweite nur dann, wenn die Ableitung der Dichtefunktion an genügend Stellen ausreichend negativ ist. Angenommen wir haben Gleichverteilung, dann ist die Ableitung der Dichtefunktion 0 und der Ausdruck immer positiv. Oder anders, wenn ich b erhöhe, dann steigt die Wahrscheinlichkeit.
Hier muss jetzt mein Fehler passiert sein?


Grafisch hingegen würde einer Erhöhung von b der Verschiebung der gezeichneten Kurve nach oben entsprechen. Somit ist die Fläche rechts oberhalb kleiner geworden bzw. die Wahrscheinlichkeit gesunken.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen
Ich hatte übersehen, dass F für x>s nicht definiert ist. Also hier mit neuer Integrationsobergrenze für deine ZV:


Für die Gleichverteilung auf [0;1] ergibt sich


Weil sich in diesem speziellen Fall (nach oben begrenzter Def-bereich) die Untergrenze entsprechend dem b anhebt, sich das Integral also verkleinert, gilt hier:



Es gibt sozusagen einen "Abschlag" (auf dessen Herleitung ich hier erstmal verzichte) für
nach oben begrenzte ZV. Nur dadurch wird diese Ableitung auch negativ. Da liegt vielleicht dein Denkfehler.
Für nicht begrenzte ZV kann man

auf Nullstellen untersuchen und jeweils von Nullstelle zu Nullstelle integrieren.
Je nachdem, ob der negative oder pos. Bereich größer ist, ergibt sich das Vorzeichen der Ableitung nach b.
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