Basis des Kerns

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flowerpower1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns
Ich möchte folgende Aufgabe lösen.

Zeigen Sie, dass (v1; v2; v3) mit v1 = (1;-1; 0; 0); v2 = (0; 2; 0;-2) und v3 =
(0; 0; 1;-1) eine Basis des Kerns der linearen Abbildung f : R4 --> R;
(x1; x2; x3; x4) --> x1 + x2 + x3 + x4 ist.

Wähle x2=t, x3=p, x4=s

Also
x1 = -t-p-s
x2= -(-t-p-s)-p-s=t-2p
x3= -(-t-p-s)-(t-2p)-s=3p
x4= -(-t-p-s)-(t-2p)-3p=s

Muss das so in der Art gehen? Ich glaub nämlich ich lieg da ziemlich auf dem Holzweg....für ein bisschen hilfe wäre ich dankbar !
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Kerns
Zitat:



Wähle [color)=green]x2=t[/color], [color)=green]x3=p[/color], [color)=green]x4=s[/color]

Also
x1 = -t-p-s
x2= -(-t-p-s)-p-s=t-2p
x3= -(-t-p-s)-(t-2p)-s=3p
x4= -(-t-p-s)-(t-2p)-3p=s



Wieso denn zwei verschiedene Darstellungen für x_2 und x_3, die dazu noch widersprüchlich sind, für p=1 hieße das .

Dass "- mal -" plus ergibt sollte klar sein, damit ist:

, aber das wussten wir ja schon vorher, ebenso ist, nicht besonders überraschend:

, was auch nicht überraschen sollte, denn gearde so wurden die x_i ja gewählt.

Das ganze kann man sich also schenken.....

Paramterisieren am Anfang ist richtig, dann hast du









Was ergibt sich nun? Stelle einmal mit diesen Informationen eine Parametrgleichung einer Hyperebene dar.
flowerpower1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Parametrgleichung einer Hyperebene" sagt mir jetzt ehrlich gesagt nichts....kannst du das vielleicht ein bisschen anders erklären/ausdrücken?

Ich dachte ja, dass man jetzt einfach Setzungen vornehmen muss
z.B. t=1, s=0, p=0 ....und dann auf die Basis kommen. Das hat aber nicht funktioniert.

Danke aber schonmal für den Beitrag!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht völlig trivial ? LGS Rang 1, also dim Kern = 3. 3 l.u. Vektoren gegeben, offensichtlich im Kern. Fertig, oder nicht.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, stimmt, macnchmal kommt man auf das einfachste nicht......
flowerpower1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, ihr habt recht. Das ist wirklich offensichtlich. Meint ihr denn das ist alles was man dazu schreiben muss....? Das war ja schließlich eine Klausuraufgaben.

Muss man nicht vll die Vektoren noch auf lineare Unabhängigkeit prüfen?
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flowerpower1234

Muss man nicht vll die Vektoren noch auf lineare Unabhängigkeit prüfen?


Jap, das kann man noch kurz zeigen....
flowerpower1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke... ?

also das Parametisieren ist dann ja eigentlich überflüssig. Aber könnte man das damit (umständlicher) auch lösen? verwirrt
flowerpower1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flowerpower1234
Okay, danke... verwirrt


ups, das Fragezeichen war nen Tippfehler
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Linear unabhängig ist offensichtlich. Wenn man die 3 Zeilenvektoren untereinander schreibt, hat man eine obere Dreiecksmatrix vom Rang 3. Gauß kann nicht mehr wollen.
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