Extremwertaufgabe Kreisflächen |
| 25.02.2012, 15:38 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extremwertaufgabe Kreisflächen Hi, ein Stück Draht welches den Umfang eines Kreises mit einem Radius von 12cm bildet, soll so zugeschnitten werden , dass mit ihm 2 Kreise geformt werden können . Wie groß sind die radien dieser beiden Kreise , wenn die Summe der Flächeninhakte ein Mininmum werden soll ???? Bitte um genaue Erklärung , da ich gar nichts verstehe! Ich habe es aber probiert! Meine Ideen: Als Hauptbedingung habe ich gewählt A(Kreis1)+A(Kreis2) = A als minim. und A = (Pi*r(1)^2)+(Pi*r(2)^2) ----> ist das schon falsch??? ein weiterer Ansatz war der Umfang -- ein Kreis hat den Umfang x und der andere den Umfang 75,398cm! Jedenfalls bin ich total verwirrt und hffe es kann mir jemand weiter helfen , sodass ich wieder auf den richtigen Weg komme und evtl. die Nebenbedingung erschließen kann! Vielen Dank edit: Zur Unterscheidung habe ich aus aktuellem Anlass den Titel mit "Kreisflächen" ergänzt. LG sulo |
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| 25.02.2012, 16:05 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremweraufgabe
Nein, das ist richtig!
Das stimmt nicht! Die beiden Kreise entstehen ja aus dem 75,398 cm langen Drahtstück, indem es zwerschnitten wird. Wenn der eine Kreis den Umfang x hat (also ein x cm langes Stück abgeschnitten wurde), dann hat der andere Kreis nicht mehr 75,398 cm Umfang, sondern nur noch... ? Diese beiden Werte, das x und das ..., setzt du dann oben für r(1) und r(2) ein. |
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| 25.02.2012, 16:39 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also , 75,398-x ?! 
Und dann die Ableitung : 2*Pi(75,398) + 2*r ??? vielen Dank |
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| 25.02.2012, 16:42 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss mich korrigieren 
2*Pi*(75,398) + 2* Pi*(75,398-x) ???!!! Als erste Ableitung ! Danke |
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| 25.02.2012, 16:59 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh Gott ....jetzt hab ich es aber wirklich !!! 1Abl : 2x-2*(75,398-x) Das ergibt x= 37,9915 cm für den Umfang und 6 cm für den Radius !? Dann hab ich jetzt noch eine Frage : In der Aufgabe steht ja immer , ermittle entweder ein max. oder ein min. ! Das beweise ich ja mit dem Nachweis und der zweiten Abl., aber muss ich das auch bei der Vorüberlegung der HB und NB beachten , ob ich ein max oder min ermitteln soll? Danke |
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| 25.02.2012, 17:15 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass 6cm für den Radius rauskommen ist klar, oder? -> 2 gleich große Kreise. Daraus folgt auch, dass es ein Min ist. Denn 1 Kreis mit R=12 cm und der andere mit R=0 würde den gesamten Kreis ausfüllen. Allgemein führen ja HB und NB zur Zielfunktion (ZF), deren 1. Abl. notwendig 0 sein muss. Im günstigen Fall hat die ZF im geg. Intervall nur ein Extremum. Der Nachweis, ob eines vorliegt und wenn, welcher Art es ist, kann auf versch. Weise ermittlet werden, meist eben mit f''. Die ZF wird i. allg. nicht danach konstruiert, ob Min oder Max gesucht ist. Das muss sich math. aus dem Kontext ergeben, sonst ist irgendwo der Wurm drin. Hoffe das war etwa die Frage... |
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| 25.02.2012, 17:29 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohhh ja , ich habe es verstanden : Daanke ihr Genies 
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| 25.02.2012, 17:56 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hab ich noch eine Frage , und zwar : Meine ZF zu dieser oben genannten Aufgabe ist : Pi * (75,398-x/2*Pi)^2 + Pi * (x/2*Pi)^2 ...wie komm ich da auf:Pi * (75,398-x)^2 + Pi * (x)^2 ??? Um dann die erste Ableitung zu machen? Da habe ich den Anschluss verloren :-( , weil sich ja r(1) bzw r(2) aus u/2*Pi ergibt ! Vielen Dank |
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| 25.02.2012, 18:31 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmmm also mein Vorschlag wäre HB: NB: ZF: Abzuleitende Funktion Ist doch einfacher, oder?! Edit: Mit der Erklärung u=12=konstant= |
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| 25.02.2012, 18:42 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hört sich sehr gut an , ich bin aber ein absoooluter Oberoberanfänger und brauche kurz Zeit um das nachzuvollziehen ;-( Also , das andere macht wohl keinen Sinn??? Es kommt aber das richtige Ergebnis raus , mir fehlt nur der eine Schritt ! Den hatte der PhyMaLehrer wohl mit mir übersprungen , denn ich hab das getan was er gesagt hat und es ergab Sinn ! Nur dieser eine Schritt , den kann ich nicht nachvollziehen . 
Danke |
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| 25.02.2012, 18:52 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du die NB? Der Draht hat ja die Gesamtlänge von 2*pi*12 cm. Wenn ich ihn zerschneide und draus 2 Kreise lege, dann gilt für deren Umfänge Die müssen den Gesamtumfang des ursprüngl. Kreises ergeben (12cm*2pi) Also Folglich ist ... |
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| 25.02.2012, 19:00 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ich meine die NB , und ich sollte den Umfang in meine ZF für r einsetzen ! in dem Fall war das dann aber nur u - x und einmal nur x ! Aber ich ersetze doch r und das ist ---> : R(1)= u/2*Pi R(2)=u-x/2*Pi Also ich hab praktisch das geteilt durch 2*Pi nicht mit in die Zielfunktion eingesetzt ! |
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| 25.02.2012, 19:13 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh je das klingt jetzt etwas konfus für mich. 
Also die HB hat 2 Radien als Variablen A(R1, R2) In der NB wird einer mithilfe der Konstanten ersetzt. Die ZF ist A(R) (R ist Radius des einen Kreises, vorher R1 genannt) A ist die Flächeninhaltsfunktion, deren Ableitung ein (mögliches) Min anzeigt (notw. Bed) Ich würde nicht mit dem Umfang operieren, da er ja über pi mit R verknüpft ist. Take it easy... |
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| 25.02.2012, 19:58 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab deinen Gedanken von oben mal aufgegriffen und korrigiert: A(x) = pi * (75,398-2x*Pi)^2 + Pi * (2x*Pi)^2 Dabei ist x der Radius des einen Kreises. A wäre dann allerdings die Fläche eines Kreises, der die beiden Drahtstücke als Radien hat, also nicht der beschriebene Flächeninhalt. Darüber würde ich mir aber keine Gedanken machen. Ich bleibe aber bei meinem Vorschlag von oben, der keine genäherte Konstante enthält, einfach zu differenzieren ist und die benannte Kreisfläche beschreibt. Die Lösung hast du ja bereits. |
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| 25.02.2012, 23:48 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ; ich hab jetzt eben mal versucht das: abzuleiten und da komme ich auf 0 , wenn ich die erste Ableitung null setze ! Oh jeeeh ... würdest du vielleicht so nett sein und mir HB , Nb und ZF bis zur Ableitung mal aufzuführen aber im Zusammenhang mit dem Umfang ? Vielleicht erscheint mir dann meine unlogische Lücke als logisch ! Vielen Dank für deine Mühe bisher !
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| 26.02.2012, 00:27 | solveig1113 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt habe ich es nochmal probiert und komme nicht auf 0 , sondern auf 12 ! Da hab ich ja gar nichts gekonnt :-( ich glaube es ist einfach zu spät 
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| 26.02.2012, 10:12 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jepp, sowas macht man auch nicht nachts. Da schläft man oder macht Party, aber gegen Schlafen ist nix einzuwenden. Also B(r)=r^2+(12-r)^2 (vereinfachte ZF ohne lästiges pi) B'(r)=2r-2(12-r) (Minus durch innere Ableitung, lag da der Fehler?) 0 = 4r - 24 ... --> R1=r, R2=... Dann r in die ZF A(r) einsetzen. Die Gesamtfläche A(r) muss jetzt halb so groß sein wie die ursprüngliche, denn pi(R/2)^2+pi(R/2)^2 = 1/2*pi*R^2 Edit: Sehe gerade, dass die Fläche nicht verlangt ist, nur ne Überlegung wert... |
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